線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型以及定義

第一節(jié)線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型目標(biāo)函數(shù)：約束條件：松弛變量，剩余變量線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式特點(diǎn)：(1)目標(biāo)函數(shù)求最小值（有時(shí)求最大值）(2)約束條件都為等式方程，且右端常數(shù)項(xiàng)bi都大于或等于零(3)決策變量xj為非負(fù)。（2）如何化標(biāo)準(zhǔn)形式

目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)換

如果是求極大值即，則可將目標(biāo)函數(shù)乘以(-1)，可化為求極小值問(wèn)題。也就是：令，可得到上式。即

若存在取值無(wú)約束的變量，可令其中：

變量的變換

約束方程的轉(zhuǎn)換：由不等式轉(zhuǎn)換為等式。稱為松弛變量稱為剩余變量

變量的變換

可令，顯然例1將下列線性規(guī)劃問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)形式用替換，且解:（１）因?yàn)閤3無(wú)符號(hào)要求，即x3取正值也可取負(fù)值，標(biāo)準(zhǔn)型中要求變量非負(fù)，所以(2)第一個(gè)約束條件是“≤”號(hào)，在“≤”左端加入松馳變量x4，x4≥0,化為等式；(3)第二個(gè)約束條件是“≥”號(hào)，在“≥”左端減去剩余變量x5，x5≥0；(4)第3個(gè)約束方程右端常數(shù)項(xiàng)為-5，方程兩邊同乘以(-1),將右端常數(shù)項(xiàng)化為正數(shù)；(5)目標(biāo)函數(shù)不變標(biāo)準(zhǔn)形式如下：一、圖解法第二節(jié)解的性質(zhì)maxZ=2X1+X2

X1+1.9X2≥3.8X1-1.9X2≤3.8s.t.X1+1.9X2≤10.2X1-1.9X2≥-3.8X1，X2≥0例2用圖解法求解線性規(guī)劃問(wèn)題圖解法x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)4=2X1+X2

20=2X1+X2

17.2=2X1+X2

11=2X1+X2

Lo：0=2X1+X2

（7.6，2）DmaxZminZ此點(diǎn)是唯一最優(yōu)解，且最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值

maxZ=17.2可行域maxZ=2X1+X2圖解法maxZ=3X1+5.7X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)（7.6，2）DL0：0=3X1+5.7X2

maxZ（3.8，4）34.2=3X1+5.7X2

藍(lán)色線段上的所有點(diǎn)都是最優(yōu)解這種情形為有無(wú)窮多最優(yōu)解，但是最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值maxZ=34.2是唯一的?？尚杏驁D解法minZ=5X1+4X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)DL0：0=5X1+4X2

maxZminZ8=5X1+4X2

43=5X1+4X2

（0，2）可行域此點(diǎn)是唯一最優(yōu)解圖解法246x1x2246無(wú)界解(無(wú)最優(yōu)解)maxZ=x1+2x2例3x1+x2=4(≥)x1+3x2=6(≥)3x1+x2=6(≥)maxZminZx1x2O10203040102030405050無(wú)可行解(即無(wú)最優(yōu)解)maxZ=3x1+4x2例4圖解法

學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.通過(guò)圖解法了解線性規(guī)劃有幾種解的形式（唯一最優(yōu)解；無(wú)窮多最優(yōu)解；無(wú)界解；無(wú)可行解）

2.作圖的關(guān)鍵有三點(diǎn)：

(1)可行解區(qū)域要畫(huà)正確

(2)目標(biāo)函數(shù)增加的方向不能畫(huà)錯(cuò)

(3)目標(biāo)函數(shù)的直線怎樣平行移動(dòng)二線談性規(guī)這劃解竹的定展義可行肉解：滿詠?zhàn)慵s鍬束條潑件Ax功=b、x≥旱0的解晝?yōu)榭杉尚薪夂?。所薄有可鴿行解吼的集沸合為間可行套域。最優(yōu)逝解：使絹目標(biāo)寨函數(shù)弟達(dá)到份最小尋值的斬可行學(xué)解。基：設(shè)A為約已束條撇件Ax度=b的m×胡n階系免數(shù)矩罪陣(m縣<n耽)，其才秩為m，B是矩榆陣A中m階滿謀秩子迎矩陣停（∣B∣籮≠0），餡稱B是規(guī)臥劃問(wèn)槍題的改一個(gè)首基。滴設(shè)：稱B中每侄個(gè)列嶺向量Pj(狠j拍=告1價(jià)2……m)為基寺向量買(mǎi)。與吐基向廣量Pj對(duì)應(yīng)俱的變移量xj為基變泊量。除籃基變膨量以狗外的輪變量雅為非基底變量?；獾溃耗骋晃鄞_定主的基B，令物非基讓變量估等于縱零，粒由約襲束條情件方垂程Ax獨(dú)=b解出談基變具量，搏稱這徒組解瓦為基尚解。耐在基崖解中諷變量構(gòu)取非0值的蒸個(gè)數(shù)相不大棗于方駱程數(shù)m，基犬解的消總數(shù)冷不超緒過(guò)基可墳行解服：滿足北變量銳非負(fù)查約束鄰條件羨的基澤本解鍋，簡(jiǎn)主稱基達(dá)可行愈解。可行請(qǐng)基：對(duì)應(yīng)掩于基搏可行欺解的兩基稱診為可貨行基倡。非可行解可行解基解基可行解例1.磨4求線蘋(píng)性規(guī)霞劃問(wèn)藏題的侵所有獻(xiàn)基矩贏陣。解:約束眉方程畫(huà)的系野數(shù)矩塵陣為2×捷5矩陣r(富A)將=2，2階子會(huì)矩陣劃有10個(gè)，多其中高基矩悅陣只繞有9個(gè)，傲即解的亡定義解的癥定義解的逃定義解的勵(lì)定義類似欺可得肆所有揮基解德。代入冊(cè)目標(biāo)挺函數(shù)通，通驢過(guò)比騙較可鉛得最制優(yōu)解甘。思考酸：線性歉規(guī)劃束的基鍬解最園多有號(hào)多少數(shù)個(gè)？邊基可臣行解艇呢？引理1：設(shè)x0＝0是線薯性規(guī)群劃的銳可行骨解，渠則x0必定罵是基謙可行訂解。解的乓定義分析錯(cuò)：要盾證x0＝0是基繼解，潑由定裳義，焦只需呢要證唯明存墻在非應(yīng)奇異駱子陣B，使烈得xB=B-1b=護(hù)0,默xN=0檔,從而娛，x0是基植解。解的孟定義證明努：因陽(yáng)為x0＝0是可傲行解驢，所有霉?jié)M足Ax0＝A0＝0＝b。設(shè)r(揀A)膀=m您,任取挎一個(gè)m階非鉛奇異梯方陣引理2：設(shè)x0是線性規(guī)劃的可行解，并且若相應(yīng)的P1，P2，Ps線性無(wú)關(guān)，則x0是基可行解。證明泰：設(shè)r(百A)秧=m欲,因?yàn)镻1，P2，Ps線性嫌無(wú)關(guān)胞，所咱以s<族m.可以徑從A中補(bǔ)禾充(m吹-s娘)個(gè)列筐向量蒼，使珠得新客向量會(huì)組是A的一繭個(gè)極濁大線華性無(wú)葡關(guān)組拼，解的坦定義不妨壘設(shè)為P1，P2，…Ps，Ps+阿1…,Pm,則B=蠢(陽(yáng)P1，P2，…Ps，Ps+遣1…,Pm)為非猶奇異減矩陣占，又解的祥定義問(wèn):1。若x是線艷性規(guī)倡劃的舅一基逝解,那么曲其中酷非鞏零變甘量最對(duì)多有果多少汽個(gè)?零變切量最哲少多日少個(gè)論？解的坑定義2。已飯知一見(jiàn)可行室解，拍且非甩零個(gè)玩數(shù)小貍于m，是派否一院定是無(wú)基可辮行解喪？解的離定義解的桿定義解的饑定義注:由可盡行解儉中非翼零變從量的遭個(gè)數(shù)犯以及始對(duì)應(yīng)消列的債相關(guān)皺無(wú)關(guān)仍性可繩判斷叔是否炒是基桌解.解的閣定義定理2:線性戚規(guī)劃曠可行島解的順集合R=尖{x耕|A充x蠟=b愿,x墓≥0逆}是凸持集.點(diǎn)x0是R的極叫點(diǎn)充撤分必濤要條難件是x0是線斯性規(guī)遠(yuǎn)劃的消基可懇行解.二.解釋紗及相售關(guān)性盟質(zhì)再證x0是R的極斑點(diǎn).假設(shè)圓不是,由定孤義,解釋汁及相切關(guān)性儀質(zhì)解釋負(fù)及相發(fā)關(guān)性畝質(zhì)解釋防及相徐關(guān)性吹質(zhì)解釋做及相妖關(guān)性裹質(zhì)再證議必要齊性.反證.（即構(gòu)理造兩料個(gè)可千行解x1，x2使得x0是這斧兩個(gè)噴點(diǎn)的蘋(píng)組合）設(shè)x0是極策點(diǎn),但不輝是基更可行趁解.不失愁一般探性,設(shè)前s個(gè)分妙量大銷(xiāo)于0,后面n-姜s個(gè)分檔量為0.定理3的第英二個(gè)浪結(jié)論皺可知A的前s個(gè)列扭向量哥線性圣相關(guān).于是蔬存在散一組益不全領(lǐng)為0的數(shù)酒滿足解釋都及相畜關(guān)性余質(zhì)解釋斯及相切關(guān)性原質(zhì)解釋吼及相痕關(guān)性惠質(zhì)解釋息及相蔬關(guān)性注質(zhì)說(shuō)明:從證碰明的你過(guò)程暮來(lái)看,對(duì)于傭任意陰一個(gè)鄙可行仙解,如果反不是負(fù)基解池，可躺以通壤過(guò)所亂給的笨方法配，可孕以得喘到一歲可行危解，糧其中0分量箱的個(gè)詞數(shù)至羽少增倘加一側(cè)個(gè)。遲反復(fù)泰進(jìn)行珍，一皇定會(huì)載得到掃一基相可行迫解。解釋艦及相根關(guān)性斑質(zhì)解釋幣及相半關(guān)性惹質(zhì)解釋忠及相爬關(guān)性覺(jué)質(zhì)線性買(mǎi)規(guī)劃么基本符定理:1.若線簡(jiǎn)性規(guī)訓(xùn)劃有喘可行抗解,則一谷定有縣基可談行解.可行解xx是基解x不是基解,則逐漸增加0分量個(gè)數(shù),變成基可行解.解釋讀及相杯關(guān)性燦質(zhì)2.若線不性規(guī)釘劃有弄最優(yōu)千解,則一差定可知以在低基可籮行解憂上達(dá)賓到.（換允句話艙說(shuō)，鴨若有賤最優(yōu)艷解，禾必有笛基礎(chǔ)店最優(yōu)念解）證明掩：設(shè)x為最筍優(yōu)解油。若x是極還點(diǎn)，僵得證慌。若不蜜是極照點(diǎn)，萄由定娛理3中所退證，俘可以餡表示繩為一截些點(diǎn)挽的線減性組伴合，莖其中版一個(gè)售為極歲點(diǎn)，購(gòu)不妨擴(kuò)設(shè)為解釋產(chǎn)及相僵關(guān)性矛質(zhì)注：l是有少限的腸。（思考研：為驅(qū)什么大