湖南省衡陽市 衡東縣莫井中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

湖南省衡陽市衡東縣莫井中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)是(

)A．y=logx B． C．y=﹣x3 D．y=tanx參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】A．y=logx（x＞0）為非奇非偶函數(shù)，即可判斷出正誤；B.在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增；C．y=﹣x3，滿足題意；D．y=tanx在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增．【解答】解：A．y=logx（x＞0）為非奇非偶函數(shù)，不正確；B.是奇函數(shù)，但是在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，不正確；C．y=﹣x3，是奇函數(shù)且在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，正確；D．y=tanx是奇函數(shù)，但是在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，不正確．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.函數(shù)的一條對稱軸方程是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.

如圖：D、C、B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC=，從C、D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)仰角分別β，α(α<β)，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A略6.如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，則（）．A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：B∵是邊的中點(diǎn)，∴，∴．故選．7.若且，則角是

A．第一象限角

B．第二象限角

C．第三象限角

D．第四象限角參考答案：B8.如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和俯視圖都是邊長為2的正方形，側(cè)視圖是一個直徑為2的圓，則該幾何體的表面積是（）A．4π B．6π C．8π D．16π參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；立體幾何．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是圓柱體，根據(jù)數(shù)據(jù)求出它的表面積．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，知該幾何體是底面直徑為2，高為2的圓柱體；∴該圓柱體的表面積是S=2S底+S側(cè)=2π×12+2π×1×2=6π．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了三視圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)三視圖，得出幾何體的形狀與數(shù)據(jù)特征，從而求出答案，是基礎(chǔ)題．9.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則=

。參考答案：-9略10.在四邊形ABCD中，若·＝－||·||，且·＝||·||，則該四邊形一定是A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)定義域是，則的定義域是

參考答案：12.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是．參考答案：[，]【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，再由的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)O（0，0）連線的斜率求解．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，的幾何意義為可行域內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)O（0，0）連線的斜率，聯(lián)立方程組求得A（3，﹣1），B（3，2），又，．∴的取值范圍是[，]．故答案為：[，]．13.已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿足an2=S2n﹣1（n∈N+）．若不等式≤對任意的n∈N+恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】通過在an2=S2n﹣1中令n=1、2，計(jì)算可知數(shù)列的通項(xiàng)an=2n﹣1，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求f（n）=的最小值，對n的值分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．【解答】解：∵an2=S2n﹣1，∴a12=S1=a1，又∵an≠0，∴a1=1，又∵a22=S3=3a2，∴a2=3或a2=0（舍），∴數(shù)列{an}的公差d=a2﹣a1=3﹣1=2，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴不等式≤對任意的n∈N+恒成立，即不等式≤對任意的n∈N+恒成立，∴λ小于等于f（n）=的最小值，①當(dāng)n為奇數(shù)時，f（n）==n﹣﹣隨著n的增大而增大，∴此時f（n）min=f（1）=1﹣4﹣=；②當(dāng)n為偶數(shù)時，f（n）==n++＞，∴此時f（n）min＞＞；綜合①、②可知λ≤，故答案為：．14.已知實(shí)數(shù)滿足則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________。參考答案：15.已知函數(shù)，對于下列命題：①若，則；②若，則；③，則；④．其中正確的命題的序號是（寫出所有正確命題的序號）．

參考答案：①②略16.反函數(shù)是_____________________________。參考答案：17.已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)（2，），則f（9）=

．參考答案：3【考點(diǎn)】冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】先由冪函數(shù)的定義用待定系數(shù)法設(shè)出其解析式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出冪函數(shù)的解析式，再求f（16）的值【解答】解：由題意令y=f（x）=xa，由于圖象過點(diǎn)（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求其解析式，求函數(shù)值．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓O：x2+y2=1和定點(diǎn)A（2，1），由圓O外一點(diǎn)P（a，b）向圓O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|．（1）求實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系；（2）求線段PQ長的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）因?yàn)镼是切點(diǎn)，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2，列出等式即可；（2）點(diǎn)P在直線l：2x+y﹣3=0上．|PQ|min=|PA|min，即求點(diǎn)A到直線l的距離；【解答】解：（1）連OP，∵Q為切點(diǎn)，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2又由已知|PQ|=|PA|，故：（a2+b2）﹣12=（a﹣2）2+（b﹣1）2化簡得實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：2a+b﹣3=0．（2）由（1）知，點(diǎn)P在直線l：2x+y﹣3=0上．∴|PQ|min=|PA|min，即求點(diǎn)A到直線l的距離．∴|PQ|min═=19.已知集合，若，求實(shí)數(shù)的值及。參考答案：,20.設(shè)（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值。參考答案：21.如圖，在三棱錐P—ABC中，△PBC為等邊三角形，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC．（1）求直線PB和平面ABC所成的角的大?。唬?）求證：平面PAC⊥平面PBC；（3）已知E為PO的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的點(diǎn)，AF＝AB．若EF∥平面PAC，求的值．參考答案：（1）60°；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）先找到直線PB與平面ABC所成的角為,再求其大??；（2）先證明,再證明平面PAC⊥平面PBC；（3）取CO的中點(diǎn)G,連接EG,過點(diǎn)G作FG||AC,再求出的值.【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABC，PO⊥BC,平面PBC∩平面ABC=BC,,所以PO⊥平面ABC,所以直線PB與平面ABC所成的角為,因?yàn)椋灾本€PB與平面ABC所成角為.(2)因?yàn)镻O⊥平面ABC,所以,因?yàn)锳C⊥PB，,所以AC⊥平面PBC,因?yàn)槠矫鍼AC,所以平面PAC⊥平面PBC.(3)取CO的中點(diǎn)G,連接EG,過點(diǎn)G作FG||AC,由題得EG||PC,所以EG||平面APC,因?yàn)镕G||AC，所以FG||平面PAC,EG,FG平面EFO,EG∩FG=G,所以平面EFO||平面PAC,因?yàn)镋F平面EFO,所以EF||平面PAC.此時AF=.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何元素垂直關(guān)系的證明，考查線面角的求法，考查空間幾何中的探究性問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.22.（1）已知tanα=，求的值．（2）已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，求sin2α的值．參考答案：【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的余弦函數(shù)；GI：三角函數(shù)的化簡求值；GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡，再“弦化切”思想可得答案；（2）根據(jù)＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，求出sin（α﹣β），cos（α+β），那么s