江蘇省泰州市2023屆高三下學(xué)期第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

泰州市2023屆高三第一次調(diào)研測(cè)試

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁(yè)，22小題，滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.將

條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題K答案》后，用28鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的K答案D

信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他(答案加(答案》不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，K答案』必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域

內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的K答案％然后再寫(xiě)上新K答案》不準(zhǔn)使用鉛筆

和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,已知集合A={X∣1≤X≤3},5={X∣2<X<4},則AB=()

A.(2,3]B.[1,4)C.(-∞,4)D.[l,-κo)

K答案7A

K解析員

R祥解》根據(jù)交集概念計(jì)算出K答案X.

K詳析』A∩B={x∣2<x≤3}=(2,3].

故選：A.

z?

2.2知向量￡,6滿(mǎn)足忖=1,W=2,<",」>=——，則α?(α+B)=()

A.-2B.-1C.0D.2

K答案HC

R解析y

R祥解11根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確R答案Il.

K詳析Ua?(ajrb?=a+tz?i>=1+1×2×cos—=1-1=0.

故選：C

3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z∣,Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x-y=O對(duì)稱(chēng)，若Zl=I-i,貝IJlZl—Z2∣=()

A.√2B.2C.2√2D.4

K答案】c

K解析H

K祥解》根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到Z2=-l+i,從而計(jì)算出z∣-Z2=2-2i,求出模長(zhǎng).

K詳析DZl=IT對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,-1),其中(L-I)關(guān)于x-y=O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(一1,1),

故Z2=T+i,

故∣z∣-Z2∣=∣l-i+l-i∣=∣2-2i∣=√?^=2及.

故選：C

4.2022年神舟接力騰飛，中國(guó)空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹.太空中飛船與空間站的對(duì)接，

需要經(jīng)過(guò)多次變軌.某飛船升空后的初始運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其遠(yuǎn)地點(diǎn)(長(zhǎng)軸端點(diǎn)

中離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面5,近地點(diǎn)(長(zhǎng)軸端點(diǎn)中離地面最近的點(diǎn))距地面S2,地球的半徑為R,則該

橢圓的短軸長(zhǎng)為()

A.B.2λ∕51S2

C.I(S1+R)(S2+R)D.2J(S∣+H)(S2+R)

K答案》D

K解析D

K祥解》根據(jù)橢圓的遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)的距離可得α+c=S∣+R,Q-C=S?+/?,進(jìn)而可求得。2,求得b,

可得R答案』.

詳析由題意得,

RUα+c=S]+R,α—c=S2+/?,..b^=cι^—C-=(S∣+R)(S,+/?),

故

O=λ∕(S,+^)(S2+/?),.?.2b=2J(S∣+R)(S2+R),

故選：D.

.π]33,(_π]

5.已知SIna——+cos。=—,貝IJCoS2。+—=()

I655I3

72424

A.——bC.D.——

25??2525

R答案XB

R解析】

K祥解2根據(jù)三角恒等變換公式求解.

17*/兀、?/?-13

Kτ÷析Xsina——∣+cosα=——SInc——cosa+cosσ,

<6)225

所以與nα+Lα=3,

225

所以sin(α+E)=|,

f?,無(wú)［?f'兀［1??f'兀)?97

cos2α+-=cos2a+—=l-2sιn2a+—|=11-2x——--,

I3)I6j［6)2525

故選:B.

6.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布"(",Cr),有下列四個(gè)命題：

甲：P(X>m+l)>P(X<m-2);

乙：P(X>m)=0.5；

丙：P(X≤m)=0.5;

T：P(m-?<X<ni)<P(m+l<X<m+2)

如果只有一個(gè)假命題，則該命題為()

A.甲B.乙C.丙D.T

K答案DD

K解析H

K祥解』根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可判定乙、丙一定都正確，繼而根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可判斷甲和丁，即

得K答案》.

K詳析H因?yàn)橹挥幸粋€(gè)假命題，故乙、丙只要有一個(gè)錯(cuò)，另一個(gè)一定錯(cuò)，不合題意，

所以乙、丙一定都正確，則〃P(X>w+l)=P(X<m-l)>P(X<m-2),

故甲正確，

根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得尸(〃2-1<X<m)=P(m<X<m+?)>P(w+1<X<m+2),故丁錯(cuò).

故選：D.

7.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且f(2x+l)為偶函數(shù)，/(%)=∕(x+l)-∕(x+2),若/(1)=2,則

/(18)=()

A.1B.2C.-ID.-2

K答案，A

K解析H

(兀Jr)

K祥解D設(shè)/(x)=2sin9+彳卜滿(mǎn)足題意,即可求解.

R詳析2因?yàn)?(2x+l)為偶函數(shù)，所以/(2x+l)=∕(-2x+l),

則/(x)關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)，

設(shè)/(x)=2Sin(IX+1),

/(l)=2sinf→y‰2,關(guān)于X=I對(duì)稱(chēng)，/(x)+∕(x+2)=2Sin停x+g]+2sin^(x+2)+y

V3o√\3o√36

.(π兀),fπ5\

=2sin_XH—÷sιn—%+—π

(36)(36)

_πππ.π.π5ππ.5兀C兀

=2sin—ΛCOS—+cos—xsιn—+sin—xcos—+cos—xsιn—=2cos-X.

363636363

/(x+l)=2sin[]x+^J=2cosyX,/./(x+l)=/(Λ)+∕(X+2),

即/(x)=2SinG?+胃滿(mǎn)足條件，/(18)=2sin^6π+^J=l.

故選:A.

8.若過(guò)點(diǎn)尸&0)可以作曲線(xiàn)y=(l-x)e、的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為Aa,χ),WW,%)，則Xy2的取值

范圍是()

A.(θ,4e^3)B.(-0>,0)θ(0,4e^3)

C(-∞,4e~2)D.(-0>,θ)u(θ,4e^2)

K答案，D

K解析H

K祥解』設(shè)切點(diǎn)(XO,(1-Xo)e*>),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線(xiàn)方程，再根據(jù)切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(f,O),結(jié)合韋

達(dá)定理可得王%的關(guān)系，進(jìn)而可得My2的關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)即可得出K答案』.

K詳析U設(shè)切點(diǎn)(Xo,(I-XO)e~),y'=-e'+(I-X)e'=-xe",&=-Λ0e",

則切線(xiàn)方程為y—(1—XO)e?"=—Λ0e*(x—%),

s

又切線(xiàn)過(guò)”,0),則一(1-Λo)e*=-Λ0e)(r-Λυ),

,Λ

%—1=—JQ)(Z■—1=-Zx0+Λθ,??—(f+l)-?+1=。有兩個(gè)不相等實(shí)根X∣,??,

其中MW=1，須+々=『+L△=('+1)之-4>0,t>1或r<一3,

y%=(I-XI)(I-%2)爐3=[1-(5+%2)+中2卜"巧=(l-∕)e,+',

令g(r)=(lτ)e'M∕>l或r<-3,g'(r)=τe'+∣,

當(dāng)r<-3時(shí)，g'(f)>0,當(dāng)，>1時(shí)，g'")<0,

所以函數(shù)g(x)在(9,-3)上遞增，在(1,+8)上遞減，

g(—3)=4e-2,g⑴=0,

當(dāng)r—>—co時(shí)，g(r)―,當(dāng)/—>+∞時(shí)，g(∕)—>+8,

所以g(r)e(-e,0)D(0,4e-2),

即y為W(-°°，O)U(0,4e-).

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABa)-AAGQ中，AC與3。交于點(diǎn)。，則()

A.ADi//平面BOC1

B.JBol平面CoG

C.CQ與平面ABCD所成的角為45

D.三棱錐C-的體積為。

K答案DABD

K解析H

"羊解H根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理判斷A,利用線(xiàn)面垂直判定定理判斷B,利用線(xiàn)面夾角的定義判斷C,根

據(jù)等體積法判斷D.

K詳析H?.?4。//80,4。仁平面3。。1,3。](=平面3。。1,

；?AD∣//平面BOC∣,A對(duì);

因?yàn)?。，CO,又CG，平面ABCD,BDU平面ABCD，

所以BO_LCG，CO'CCι=C,CD,CC1U平面CoC∣,

平面COG，B對(duì);

因?yàn)镃。，平面ABCD,Cp與平面ABC。所成角為^C10C,

2

因?yàn)閠an/C0C=&wl,??.∕GOC≠45,C錯(cuò);

11c,c2a

因?yàn)椋?80G=憶1-8。。=—X—x2xlx2=—D對(duì).

3239

故選：ABD.

10.函數(shù)/(x)=Sin(S+∕)[G>0,∣同的部分圖象如圖所示，則()

C./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)展,O對(duì)稱(chēng)

D.7(x)在區(qū)間In,7-上單調(diào)遞增

K答案』ACD

K解析】

R祥解D根據(jù)三角函數(shù)的圖象，先求得0,然后求得9,根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性確定正確K答案

詳析4=*T=TI=女,??.①二2,∕(x)=Sin(2冗十°),fsin∣.

Kπ+二1,由

CD

TTUTtπ2π7π

于——<(p<一、一<(p+—<

2263~6

2ττπTT

所以夕+一二一,。二一一,所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

326

/(x)=sin[ππkπ

2Λ-?^,2x——=κπ,X=—+—,Z∈Z,

6122

當(dāng)左=O時(shí)，得］=專(zhuān)，所以/(%)關(guān)于五,0)對(duì)稱(chēng)，C選項(xiàng)正確,

兀71Tt7171

---F2k?71<2%---<--F2k]7l,---FKjI<X<--F4兀,勺∈Z,

26263

當(dāng)K=I時(shí)，得/(X)在(|兀,gj上遞增，則/(X)在區(qū)間卜+)上單調(diào)遞增，所以D選項(xiàng)正確.

故選：ACD

11.一個(gè)袋中有大小、形狀完全相同的3個(gè)小球，顏色分別為紅、黃、藍(lán)，從袋中先后無(wú)放回地取出2個(gè)球,

記”第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到黃球”為事件B,則()

A.P(A)=gB.AB為互斥事件

CP(BlA)=ID.AB相互獨(dú)立

K答案，AC

K解析D

R祥解11結(jié)合隨機(jī)事件的概率，及互斥事件、相互獨(dú)立等知識(shí)點(diǎn)逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析.

R詳析》P(A)=g,A正確；

AB可同時(shí)發(fā)生，即“即第一次取紅球，第二次取黃球“，A8不互斥，B錯(cuò)誤;

在第一次取到紅球的條件下，第二次取到黃球的概率為一,C正確;

2

P(B)=,x<+<xθ=]P(AB)=:x<=LP(AB)NP(A)P(B),??.A,B不獨(dú)立,

?Z?3JZo

D錯(cuò)誤：

故選；AC.

12.已知拋物線(xiàn)f=4y的焦點(diǎn)為尸，以該拋物線(xiàn)上三點(diǎn)A6,C為切點(diǎn)的切線(xiàn)分別是4,直線(xiàn)4,4相

交于點(diǎn)與44分別相交于點(diǎn)RQ?記A8,。的橫坐標(biāo)分別為西,馬,七，則()

A.DADB?OB.xl+x2=2X3

c.∣AF∣?∣BF∣=∣Z)F∣2D.?AP?-?CQ?=?PC↑-?PD?

K答案，BCD

K解析R

R祥解》利用導(dǎo)函數(shù)和斜率的關(guān)系表示出切線(xiàn)方程可求出。的坐標(biāo)可判斷A,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

判斷B,并根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式運(yùn)算求解即可判斷C,D.

/2\/2?(2?1.

K詳析D設(shè)A?p-?,BX2^~7^,C?9~^,y'=5X,%1=5%，

r2111

所以4:y—才=]X∣(x-xJ,即丁二萬(wàn)工/一^才，

11

同理I)?y=~X2X—~%2?

11、?_X1+X2

yΞΛ'X^4Λ'

2,即毛=.+*2,也即X1+x2=2X3,B正確;

y=??2

y-X-.XXj

2-4^

X+xXX+x%2x↑x2

DA-DB1212

C'--

西一々內(nèi)(內(nèi)一看)“2(*2-XI)

244)

2xxxx2xx2

(xl-X2)12(]~2)(?~2)

(4+Λ1X2)不一定為°，A錯(cuò)誤;

41616

(2

奢+$+苧+1,

∣AF∣?∣BF∣五+1

147+1

2

(?1+?)

DF2

44162

2222

五五?+工+工?+l=∣AF∣仍川，C正確:

16441111

故選:BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知函數(shù)"x)h；：占2(2-尤)/<1,則/(〃_2)卜.

K答案24

R解析H

R祥解H根據(jù)分段函數(shù)的定義求解即可.

K詳析』由小)

所以〃—2)=l+log2(2-(-2))=l+log24=3,

所以/(/(―2))=/(3)=23-,=22=4

故K答案U為：4.

14.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足下列條件①②的等比數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式％=一

①a,4+ι<°;②同>∣%+ι∣

K答案U(K答案』不唯一)

K解析』

R祥解》根據(jù)題目所給條件以及等比數(shù)列的知識(shí)求得正確K答案Il.

R詳析Il依題意，｛4,｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為4,

由于①a“α,,+∣<0,所以q<0,

由于②∣α"∣>∣4+∣∣=h,?q∣=∣α"∣?∣4∣,所以()<M<ι,

符合題意.

故R答案X為：I-?j(K答案》不唯一)

15.已知圓O:/+y2=/2&>0),設(shè)直線(xiàn)χ+百y—百=O與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為AJ8,若圓。上有

且只有一個(gè)點(diǎn)尸滿(mǎn)足IAH=忸H,則r的值為.

K答案HI##0.5

K解析H

K祥解D根據(jù)IAH=忸PI可得P在AB的垂直平分線(xiàn)上，且垂直平分線(xiàn)與圓相切可求解.

K詳析HA(G,0),6(0,1),PA=PBP在AB的垂直平分線(xiàn)上，

KB=-g,所以中垂線(xiàn)的斜率為6，

A6的中點(diǎn)為,由點(diǎn)斜式得y-g=,

化簡(jiǎn)得y=?∣3x—1,

P在圓O：V+y2=/滿(mǎn)足條件的P有且僅有一個(gè)，

，直線(xiàn)y=6x-l與圓相切，

故K答案』為:?.

16.已知正四棱錐S-ABC。的所有棱長(zhǎng)都為1,點(diǎn)E在側(cè)棱SC上，過(guò)點(diǎn)E且垂直于SC的平面截該棱錐,

得到截面多邊形「，則「的邊數(shù)至多為_(kāi)_______,Γ的面積的最大值為_(kāi)_______.

S

D

K答案》①.5②.史

3

K解析U

即可解決；空2,令又=2,得EP=坦LSP=A，

K樣解D空1.數(shù)形結(jié)合，作平面與平面平行，

SF2

得∣

PB=I-LBQ=I-ZPQ=I-LNQ=MP=JlBiD=√22,cos/DFB=-,SinNDFB=??,

得S=Semp+SPMNQ=-->∕2λ^+?plλ,即可解決

K詳析H取SC中點(diǎn)F,BF±SC,DF±SC,

.?.SC,平面BDR，

作平面與平面BDf平行，如圖至多為五邊形.

AQB

.?.EP=λBF=與λ,SP=λSB=λ，

.?.PB^?-λ,BQ=?-λ,PQ=?-λ,NQ=MP=ABD=√22,

-3+-3-2?

所以coSNDFB=44=--

?√3√33

22

所以SinN。依=RZ

3

1√3.√32^^Γ,

所以S..PX2

22234

因?yàn)镸N與NQ的夾角為SA與BO夾角，而SA與BD垂直，

SPMNQ=Λ∕2Λ(1-A),

所以S=&(1—/Q+￥/P=一?&2+收彳，

當(dāng)4=2時(shí)，S取最大值也.

33

故K答案》為：5；旦

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在①S”S2,S4成等比數(shù)列，②%=2%+2,③Sg=S4+57-2這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面

問(wèn)題中，并完成解答.

已知數(shù)列｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為s“，且滿(mǎn)足,.

⑴求｛4｝通項(xiàng)公式；

1111

(2)求-----1--------1---------1^---------.

。陷2a2a3a3a4a“％

注：如果選擇多個(gè)方案分別解答，按第一個(gè)方案計(jì)分.

K答案H(1)選①②，①③或②③均可得％=4〃-2

n

(2)4(2n+l)

K解析D

K樣解D(I)選出兩個(gè)條件，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式基本量計(jì)算出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式;

iifii)

(2)在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，得到-----=------;,利用裂項(xiàng)相消法求和.

anan+l2n+?J

K小問(wèn)1詳析』

若選①②，設(shè)｛4｝公差為d,

則,(4q+6d)=(2《+d)[

4+3d=2(al+4)+2

解得：α∣=2,d=4,

Cin—2+4(〃—1)=4〃-2；

選①③，設(shè)｛4｝公差為d,

aλ(4(al+6d)=(24∣+d)-

84+28d=44+6d+7q+2Id—2

解得：4=2,d=4,

,

..atl=2+4(n-l)=4π-2;

選②③，設(shè)｛q｝公差為d,

al+3d=2(4+d)+2

8q+28d=4π∣+6d+7q+2Id—2

解得：α∣=2,d=4,

"

..Cill—2+4(“—1)=4〃-2；

K小問(wèn)2詳析]

1_1_111(1______1__、

anan+λ一(4〃-2)(4〃+2)^了(2n-l)(2n+l)~s[2n-l.2/1+1)'

111If111111

aa

aλa1a2a3,l,l+?813352π-l2〃+1

=%__q=〃

812n+?J4(2〃+1)，

18.第二十二屆卡塔爾世界杯足球賽(FIFAWMdCUPQaS2022)決賽中，阿根廷隊(duì)通過(guò)扣人心弦的點(diǎn)球大

戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國(guó)隊(duì).某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有

關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女同學(xué)各IOO名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)

男生40

女生30

合計(jì)

(I)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？

(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球射門(mén).已知男生進(jìn)球的概率為:，

女生進(jìn)球的概率為每人射門(mén)一次，假設(shè)各人射門(mén)相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-hc)2

(α+b)(c+d)(α+c)0+d)

P(K2Nk)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

K答案R(I)列聯(lián)表見(jiàn)K解析有

(2)分布列見(jiàn)K解析》—

6

K解析H

K樣解H(1)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法求解；

(2)根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式和離散型隨機(jī)變量的分布列的定義求解.

K小問(wèn)1詳析』

2x2列聯(lián)表如下：

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)

男生6040100

女生3070100

合計(jì)90110200

200X(60×70-40×30)2

K2?18.182>10.828,

100×100×90×110

有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)

R小問(wèn)2詳析D

3人進(jìn)球總次數(shù)4的所有可能取值為0,1,2,3,

21115

p---×—+-

^=°)=βT332218

2

4/2?12

■n

-=-1---

9\3√29

??，的分布列如下:

40123

1542

P

Ii1899

.?芯的數(shù)學(xué)期望：E信)=1x9+2x9+3x2=11.

18996

19.在_ABC中，A,8,C的對(duì)邊分別為α,b,c,αcosB-2αcosC=(2c-0)cosA.

(1)若C=瓜,求cos5的值；

(2)若b=l,∕84C的平分線(xiàn)AD交BC于點(diǎn)￡),求AD長(zhǎng)度的取值范圍.

K答案》(1)電I

24

⑵M

R解析D

K樣解D(1)由正弦定理得出c=?,再由余弦定理求得結(jié)果；

(2)設(shè)NIM￡>=6,把一A5C表示成兩個(gè)三角形的面積和，表示出A。，再求其取值范圍;

R小問(wèn)1詳析》

已知acosB-2acosC-(2c-h^cosA,

由正弦定理可得SinACOS3-2SinACoSC=(2SinC-Sinβ)cosA,

/.sinAcosB+cosAsi∏β=2sinAcosC+2cosAsinC,

.?.sin(A+B)=2sin(A+C),

.?sinC=2sinβ,

13√3.

24

K小問(wèn)2詳析》

由(1)知c=2∕?,由人=1,則c=2.

設(shè)NBAD=Sarc=?-2?sin26^=?-2?AD?sin^+?-1?AD?sinθ,

"及222

/.AD=^cosθ,<9∈^0,yj,

???加叫.

20.如圖，在JlBC中，AO是BC邊上的高，以AZ）為折痕,將.ACD折至△”￡）的位置,使得P3_LAB.

P

（2）若AD=P8=4,8O=2,求二面角8—A4—O的正弦值.

K答案W（1）證明見(jiàn)K解析Il

⑵-

5

K解析》

K祥解II（I）先證明出線(xiàn)面垂直，得到Ar）_L依，進(jìn)而證明出PBL平面ABD;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角的余弦值，進(jìn)而求出正弦值.

K小問(wèn)1詳析』

證明：A。是Bel邊上的高,

.?.PDLAD,ADLBD,

,：PDcBD=D,PD,BDU平面PBD,

.?.AZ)，平面PB/),

,/PBU平面PBD,

.?.AD±PB,

又?PB_LA5,AD,ABu平面AS。,AOcAB=A,

PB_L平面ABz)；

K小問(wèn)2詳析］

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線(xiàn)為X軸，DB所在直線(xiàn)為y軸，垂直ADB平面為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

AD=PB=4,BD=2,

則5(0,2,0),P(0,2,4),A(4,0,0),D(0,0,0),

.?.BP=(0,0,4),Λ4=(4,-2T),ZM=(4,0,0),

設(shè)平面5P4與平面PAz)的一個(gè)法向量分別為n1=(Xl,χ,z∣),n2-(x2,y2,z2),

YL?BP=4z1=0

故,解得：Z]=0,令玉=1,得：y=2,

nλ?PA=4%-2χ-4Z]=0

則n1=(1,2,0),

ny?PA=4X9-2y9-4z9=0

~~“，解得：馬二。，令Z2=l,則%=—2,

∕ι1-DA=4X2=0

故“=((),-2,1),

設(shè)二面角3—Q4—O平面角為e,顯然。為銳角,

.COG6,JV^∣∣(U,0)?(0,-2,l)∣4_4

??∣^√Γ74X√I74

.?.Sine=JI-COS2θ=-.

22

2*?已知雙曲線(xiàn)C：，＞叱。力＞。）的左頂點(diǎn)為A'過(guò)左焦點(diǎn)口的直線(xiàn)與C交于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)加S

軸時(shí)，IPAI=Ji1,APAQ的面積為3.

（1）求C的方程；

（2）證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

K答案，(Oχ2-2L=ι

3

（2）證明見(jiàn)K解析》

K解析H

2

Γ^Y+(c-√=(√w)

?aJ

j2b2

K祥解D⑴根據(jù)題意，可得∣P∕∣=幺*------(c—Q)=3,進(jìn)而求解;

2a

c2=a2+b2

（2）設(shè)尸。方程為X=Sy-2,Pa,y）,Q（w,%），聯(lián)立直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)方程組，可得

（3m2-1）y1-12wj+9=0,以PQ為直徑的圓的方程為（X-%）（十一/）+（、-乂）（、-、2）=。，由對(duì)稱(chēng)

性知以P。為直徑的圓必過(guò)X軸上的定點(diǎn)，進(jìn)而得到χ2-（x∣+Λ2）x+x∣Λ2+χy2=0,進(jìn)而求解.

K小問(wèn)1詳析］

當(dāng)尸X軸時(shí)，RQ兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為-c,

代入雙曲線(xiàn)方程，可得W=匕，??--,g∣J∣PF∣=-,

aaa

t[+(c-α)2=(√iUy

?aJ

?2b2

由題意，可得,7------(c—α)=3,解得α=l,b=杷,c=2,

2

???雙曲線(xiàn)C的方程為：d一匕=1；

方法一：設(shè)PQ方程為X=My-2,尸(石，乂),。(々,必)，

,；2；n3(加2),2_4相),+4)_y2=3=>(3及2_1),2_]2沖+9=0,

以尸。為直徑的圓的方程為(X-XI)(X-X2)+(y-X)('一%)=。，

f-(Xl+Λ2)Λ+χ1?+∕-(γl+y2)y+yiy2=0,

由對(duì)稱(chēng)性知以尸。為直徑的圓必過(guò)X軸上的定點(diǎn)，令y=0,可得

2

X-(Xl+x2)x+xlx2+y∣γ2=0,

2

石/?Λ12m4

而M+%=加(X+V)-4=——7------4=——-——，

1-V-1273W2-13∕√-l

尤=(my-2)(m%-2)=m2yy-2∕w(y+y)+4=?，

li2l25ιτ?！?

X2-----7—x+嗎~~-H----y——=0=>(3m2-l)x2-4x+5-3m2=0

3m2-13m2-l3/-1v,

=>[(3/篦2-1)X+3∕〃2—5](X—1)=0對(duì)VM∈R恒成立，「?％=1,

???以A2為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(LO)；

方法二：設(shè)。。方程為彳=，學(xué)一2,尸(王,另),。(馬,巴)，

X-2=(3加-1),2_]2Zny+9=0,

3x-y=3'7

由對(duì)稱(chēng)性知以PQ為直徑的圓必過(guò)X軸上的定點(diǎn).

設(shè)以尸Q為直徑的圓過(guò)E,0),

e

..EPEQ=O=>(%-。(12τ)+y%=0=>x1x2-^(x1+%2)+/+X%=。，

而Fw=(mγ1-2)(∕∕τy2-2)=7√γ1γ2-2m(y1+y2)+4

29c12m.-3m2-4

=m-z------2m----Z——+4=----?------

3m2-]3∕n2-13W2-1

/\“12w2”4

X.+X=m(x+必)―4=-5-----4=—∑——

I-2J)?)3m2-13∕√-l

-3m2-44，29八

/.-----z----------z------1-廠H-----?----=O,

3^2-l3∕n2-l3m2-1

(31一1一4+5—3*=O,即[(3療—1)r+3療—5](r—1)=O對(duì)V加GR恒成立，

.?.r=l,即以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1,0).

22.已知函數(shù)〃X)=旨?和g(x)=巴黃有相同的最大值.

(1)求實(shí)數(shù)。；

(2)設(shè)直線(xiàn)y=》與兩條曲線(xiàn)>=∕(x)和y=g(x)共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為

證明：XX=XX.

ΛI(xiàn),X2,X3,X4(ΛI(xiàn)<x2<x3<x4),i42i

K答案D(1)a=↑

(2)證明見(jiàn)K解析》

K解析H

R祥解》(1)利用導(dǎo)函數(shù)分別討論兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性和最值即可求解；

⑵構(gòu)造函數(shù)F(X)=W和G(X)=??F-8，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性討論函數(shù)的零點(diǎn),結(jié)合函數(shù)

Y

0(x)=-7分類(lèi)討論對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)和分布證明.

K小問(wèn)1詳析》

ex^1-ex'1?x11-x

小)4(e*=Tk令F(x)=°=x=l.

/(x)有最大值，.?.α>0且/(x)在((U)上單調(diào)遞增;(I,+。)上單調(diào)遞減，??.∕(χ)max="1)=:?

。=1時(shí),g(%)=-p—=~p-,

當(dāng)O<x<l時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

g(x)max=g(l)=α,???J=αnα=l?

R小問(wèn)2詳析』

由/(x)=b=^γ-6=0,由g(X)=/?n^^^_/7=0,

令F(X)=擊一兒F(X)=詈

當(dāng)O<x<I時(shí)，F(xiàn)(x)>0,當(dāng)χ>l時(shí)，F(xiàn),(x)<0.

所以E(X)在((U)上單調(diào)遞增；(l,+∞)上單調(diào)遞減，???E(x)至多兩個(gè)零點(diǎn),

令G(X)=T一"G(X)=手，

當(dāng)OVXVl時(shí)，G(X)>0,當(dāng)尤>1時(shí)，G(X)<0,

所以G(X)在((M)上單調(diào)遞增；(l,?w)上單調(diào)遞減；.??G(x)至多兩個(gè)零點(diǎn).

"(x)=G(χ)≈>MTs

當(dāng)Xe[(),，]時(shí)，lnx≤-l,所以告一

Iejev^'X