三重積分的計(jì)算方法與例題

1、重積分的計(jì)算方法：三重積分的計(jì)算是化為三次積分進(jìn)行的。其實(shí)質(zhì)是計(jì)算一個(gè)定積分 ( 一重積分 ) 和一個(gè)二重積分。從順序看：z2如果先做定積分f (x, y, z)dz , 再做二重積分F (x, y)d , 就是“投z1D影法”也即“先一后二”。步驟為：找 及在xoy面投影域D。多D上一點(diǎn) (x,y ) “穿線”確定z 的積分限，完成了“先一”這一步 (定 積分 ) ；進(jìn)而按二重積分的計(jì)算步驟計(jì)算投影域D 上的二重積分，完 z2成“后二”這一步。 f (x,y,z)dv f (x, y,z)dzdD z1c2如果先做二重積分f(x, y,z)d 再做定積分F(z)dz ，就是“截面Dzc1法”

2、也即“先二后一”。步驟為：確定位于平面z &W z C2之間，即zCi,C2,過z作平行于xoy面的平面截，截面Dz。區(qū)域Dz的邊 界曲面都是z的函數(shù)。計(jì)算區(qū)域Dz上的二重積分f (x, y, z)d ,完成D zC2了“先二”這一步 (二重積分 ) ；進(jìn)而計(jì)算定積分F(z)dz ，完成“后C1C2一”這一步。 f(x,y,z)dv f(x,y,z)d dzC1 D z當(dāng)被積函數(shù)f (z)僅為z的函數(shù)(與x,y無關(guān))，且Dz的面積 容易求出時(shí)，“截面法”尤為方便。 為了簡化積分的計(jì)算，還有如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計(jì)算的問題。可以按以下幾點(diǎn)考慮：將積分區(qū)域 投影到xoy面，得投影區(qū)域D(平

3、面)1) D 是 X 型或 Y 型，可選擇直角坐標(biāo)系計(jì)算( 當(dāng) 的邊界曲面中有較多的平面時(shí)，常用直角坐標(biāo)系計(jì)算 )(2) D是圓域(或其部分)，且被積函數(shù)形如f(x2y)f(y)時(shí),可選擇柱面坐標(biāo)系計(jì)算( 當(dāng)為圓柱體或圓錐體時(shí)，常用柱面坐標(biāo)計(jì)算)(3) 是球體或球頂錐體，且被積函數(shù)形如 f(x2 y2 z2) 時(shí)，可選擇球面坐標(biāo)系計(jì)算以上是一般常見的三重積分的計(jì)算方法。對 向其它坐標(biāo)面投影或不易作出的情形不贅述。1. 對三重積分，采用“投影法”還是“截面法”，要視積分域三重積分的計(jì)算方法小結(jié)：及被積函數(shù)f(x,y,z)的情況選取。一般地，投影法 ( 先一后二 ) ：較直觀易掌握；截面法(先二后

4、一)：Dz是在z處的截面，其邊界曲線方程易寫錯(cuò)，故較難一些。特殊地，對Dz積分時(shí)，f(x,y,z)與x,y無關(guān)，可直接計(jì)算S ”因而中只要z a,b,且f(x,y,z)僅含z時(shí)，選取“截面法”更佳。2. 對坐標(biāo)系的選取，當(dāng) 為柱體，錐體，或由柱面，錐面，旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面所圍成的形體；被積函數(shù)為僅含z或Zf(x2 y2)時(shí)，可考慮用 柱面 坐標(biāo)計(jì)算。三重積分的計(jì)算方法例題：補(bǔ)例 1: 計(jì)算三重積分I zdxdydz ，其中 為平面 x y z 1 與三個(gè)坐標(biāo)面x 0, y 0,z0 圍成的閉區(qū)域。解 1 “投影法” 1.畫出 及在 xoy 面投影域 D. 2. “穿線” 0 z 1 x y歡

5、迎下載411 x 1 x yzdxdydz dx dy zdzo o o0 x 1D:0 y 1 x0 x:0 yz 0-(1 x)3dx6o解2 “截面法” 1.畫出補(bǔ)例1:計(jì)算'解1法”“投影37U算11 xdx (1 1o o 2A41。1424x y) 2dy -(12O21x) y (1 x)y Ay o3 1 xdx2. z 0,1過點(diǎn)z作垂直于z軸的平面截Dz是兩直角邊為3w算zdxdydzz(1xy)dz 2oVx2 y - dv,其中1.畫出 及在xoy面投影域D.得Dzx,y是x2的直角三角形，x 1 z, y 11zdxdydz z dxdydz0 Dzz)( 1

6、z2域1zSd dz z0z)dz 1 1(z 2z22 0和z=1圍成的閉區(qū)2y2消去y21即D:2.“穿線” x2 y2y2 11z3)dz±248J x2x2.x2x2x23計(jì)算x2 y2dvidx11 x2dyy2y2dzdx x2y2(1 .x1 X2注：可用柱坐標(biāo)計(jì) 算。解2 “截面法”2. z0,1過點(diǎn)z作z軸的平面截2y dxdydzdv0 Dr3.計(jì)算1 2do o得 Dz : xz2r 2drdzo2卬30dz iz3dzo補(bǔ)例3:化二重積分I其中f (x,y, z) dxdydz 為三次積 分，2 小 2pz x 2y 及 z2 x2所圍成的閉區(qū)域。解：1.畫出

7、 及在xoy面上的投影域D.2y22 x消去 得x2 y2 1x2y2 12 “穿線” x22y2z 2 x21 x 1X 型 D:.,C 2； .2.1 x y .1 xi x 1I12；2.1 x2 y . 1 x 222 2x 2y z 2 x1 j1 x22 x23?計(jì)算 I f (x, y, z)dxdydz dx dy f(x, y, z)dz1x2 2y2注：當(dāng)f (x, y, z)為已知的解析式時(shí)可用柱坐標(biāo)計(jì)算補(bǔ)例4:計(jì)算zdv,其中為z6 x2 y2及zx2y2所圍成的閉區(qū)域歡迎下載11解1 “投影法”1.畫出及在xoy面投影域用柱坐標(biāo)計(jì)算r cosr sin 化的邊界曲面方

8、程為：2z=6-r , z=r? D:3.計(jì)算zdv6 r2 zdzrdrdr26 rr：z 2rdr zdz 0 乙26 r dr02r(60解2 “截面法”2)2dr (36r 13r20)dr921.畫出如圖：由zr2及z r圍成。2. z 0,6 0,2 2,6Dz ：r 、6 zi 由 z=r 與 z=2 圍成；z 0,2 , Dz: r z2 由 z=2 與 z=6 r2 圍成；z 2,6,022：0 r .6 z2 z63.計(jì)算zdv= zdv1zdv2z rdrd dz0 Dz16z rdrd dz2 口Dz?2zSDzi dz0zSDz2 dz2z0(z2)dz z C、6 z)2dz22z3dz6(6 z)dz923注：被積函數(shù)z是柱坐標(biāo)中的第三個(gè)變量，不能用第二個(gè)坐標(biāo)r代摸。補(bǔ)例5:計(jì)算（x2 y2） dv,其中由不等式0 a x2 y2 z2確7E ° x解：用球坐標(biāo)計(jì)算。由yzcos sinsin sin 得cos的邊界曲面的球坐標(biāo)方程,連結(jié)OP二,其與z軸正向的夾角為,OP=oP在xoy面的投影為P連結(jié)OP,其與x軸正向的夾角為2(x2 )dv d0A z 2.2(sin a2 sin d2? 3sin0155Ad(A5253a ) sin0a5) i 1(A5a5)15三重積分的計(jì)算方法