(word完整版)中考?jí)狠S題突破：幾何最值問(wèn)題大全(將軍飲馬、造橋選址、胡不歸、阿波羅尼斯圓等),推薦文檔

1、中考?jí)狠S題突破：幾何最值問(wèn)題大全（將軍飲馬、造橋 選址、胡不歸、阿波羅尼斯圓等）一、基本圖形最值問(wèn)題在幾何圖形中分兩大類： 定點(diǎn)到定點(diǎn) ：兩點(diǎn)之間，線段最短； 定點(diǎn)到定線 ：點(diǎn)線之間，垂線段最短。由此派生： 定點(diǎn)到定點(diǎn) ：三角形兩邊之和大于第三邊； 定線到定線 ：平行線之間，垂線段最短； 定點(diǎn)到定圓 ：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長(zhǎng)）； 定線到定圓 ：線圓之間，心垂線截距最短； 定圓到定圓 ：圓圓之間，連心線截距最短（長(zhǎng)）。 舉例證明： 定點(diǎn)到定圓 ：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長(zhǎng)）。已知 O半徑為 r ， AO=d， P是 O上一點(diǎn)，求 AP的最大值和最小值。證明：由“兩點(diǎn)之間，線段最短”得AP

2、AO+PO，AO AP+PO，得 d-r APd+r ，AP最小時(shí)點(diǎn) P在 B處，最大時(shí)點(diǎn) P在 C處。即過(guò)圓心和定點(diǎn)的直線 截得的線段 AB、AC 分別最小、最大值。 （ 可用“三角形兩邊之和大于第三 邊”，其實(shí)質(zhì)也是由“兩點(diǎn)之間，線段最短”推得）。上面幾種是解決相關(guān)問(wèn)題的基本圖形，所有的幾何最值問(wèn)題都是轉(zhuǎn)化成上 述基本圖形解決的。二、考試中出現(xiàn)的問(wèn)題都是在基本圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式，如圓與線這些圖形不是直接給出，而是以符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)的形式確定的；再如過(guò)定 點(diǎn)的直線與動(dòng)點(diǎn)所在路徑不相交而需要進(jìn)行變換的。類型分三種情況：（ 1）直接包含基本圖形；（ 2）動(dòng)點(diǎn)路徑待確定；（ 3 ）動(dòng)線（定點(diǎn)）

3、位置需變換。（一）直接包含基本圖形例 1. 在 O中，圓的半徑為 6， B=30°， AC是 O的切線，則 CD的最小 值是 。簡(jiǎn)析：由 B=30°知弧 AD一定，所以 D 是定點(diǎn)， C是直線 AC上的動(dòng)點(diǎn)，即 為求定點(diǎn) D到定線 AC的最短路徑，求得當(dāng) CD AC時(shí)最短為 3。（二）動(dòng)點(diǎn)路徑待確定例 2. ，如圖，在 ABC中， ACB=90°， AB=5， BC=3， P 是 AB邊上的動(dòng)點(diǎn) （不與點(diǎn) B重合），將 BCP沿 CP所在的直線翻折， 得到 BCP，連接 B A，則 B A長(zhǎng)度的最小值是。簡(jiǎn)析： A 是定點(diǎn)， B' 是動(dòng)點(diǎn)，但題中未明確告知

4、 B' 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，所以需 先確定 B' 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形，一般有直線與圓兩類。此題中B'的路徑是以 C 為圓心， BC 為半徑的圓弧，從而轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到定圓的最短路徑為 AC-B'C=1 。如圖，QM半徑為2,圓心M的坐標(biāo)為(3, 4),點(diǎn)P是G)M上的任意一點(diǎn)，PA丄PE,且P4、PB與昭由分別交 于久B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，貝!MB的最 小值為()A3BAC. 6D. 8解答答案：C.,. PA 丄 PB、査看視頻講解 AO=BO1.AB=2PO,若要使取得最小值，則PO需取得最小值,連接OM,交OM于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)Pf立于P位置時(shí)，OP取得最

5、小值.過(guò)點(diǎn)M作MQ丄忑軸于點(diǎn)Q,則 OQ二 3, MQ=4,0M=5.又-MP=21AOF=3,.AB=2OP=6.例 3. 在 ABC中， AB=AC=5， cos ABC=3/5，將 ABC繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 得到 A'B'C ，點(diǎn) E是 BC上的中點(diǎn)，點(diǎn) F 為線段 AB上的動(dòng)點(diǎn)，在 A'B'C 繞點(diǎn) C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是 F' ，求線段 EF'長(zhǎng)度的最大值與最小值的差。簡(jiǎn)析： E是定點(diǎn)， F' 是動(dòng)點(diǎn)，要確定 F'點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑。先確定線段 A'B' 的 運(yùn)動(dòng)軌跡是圓環(huán)，外圓半徑為BC，內(nèi)圓

6、半徑為 AB邊上的高， F'是A'B' 上任意一點(diǎn)，因此 F' 的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓環(huán)內(nèi)的任意一點(diǎn)，由此轉(zhuǎn)化為點(diǎn) E 到圓 環(huán)的最短和最長(zhǎng)路徑。E 到圓 環(huán)的最短距離為 EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8 ，E 到圓環(huán)的最 長(zhǎng)距離為 EF1=EC+CF1=3+6=9，其差為 7.2 。（三）動(dòng)線（定點(diǎn)）位置需變換線段變換的方法：（ 1）等值變換：翻折、平移；（ 2）比例變換：三角、相似。 【翻折變換類】典型問(wèn)題：“將軍飲馬”例 4. 如圖， AOB=30°，點(diǎn) M、N 分別是射線 OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)， OP平分 AOB，且 OP=6，當(dāng) PMN的周長(zhǎng)最

7、小值為。簡(jiǎn)析：動(dòng)線段（或定點(diǎn)）應(yīng)居于動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)，本題的三條動(dòng)線段PM、MN、PN 在 OA、OB的內(nèi)側(cè)。所以本題的關(guān)鍵是把定線段變換到動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)，從而把三條動(dòng)線段 PM、MN、PN 轉(zhuǎn)化為連接兩點(diǎn)之間的路徑。如圖，把 點(diǎn) P 分別沿 OA、 OB翻折得 P1、 P2， PMN的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為 P1M+MN+2PN，這三 條線段的和正是連接兩個(gè)定點(diǎn)P1、P2 之間的路徑，從而轉(zhuǎn)化為求P1、P2兩點(diǎn)之間最短路徑，得 PMN的周長(zhǎng)最小值為線段 P1P2 OP 6。例 5. 如圖，在銳角 ABC中， AB=4， BAC=45°， BAC的平分線交 BC 于 點(diǎn) D，M、N分別是 AD和

8、AB上的動(dòng)點(diǎn)， 則 BM+MN的最小值是。簡(jiǎn)析：本題的問(wèn)題也在于動(dòng)線段BM、MN居于動(dòng)點(diǎn)軌跡 AD 的同側(cè)，同樣把點(diǎn) N沿 AD翻折至 AC上， BM+MNBM+MN，' 轉(zhuǎn)化為求點(diǎn) B到直線 AC的最短 路徑，即 BN' AC時(shí)，最小值為 2 2 。【平移變換類】典型問(wèn)題：“造橋選址”例 6.如圖， m、 n是小河兩岸，河寬 20 米，A、B 是河旁兩個(gè)村莊，要在河上造一座橋，要使A、 B之間的路徑最短應(yīng)該如何選址 （橋須與河岸垂直） ？簡(jiǎn)析：橋長(zhǎng)為定值，可以想像把河岸 m 向下平移與n 重合，同時(shí)把點(diǎn) A向下平移河寬，此時(shí)轉(zhuǎn)化成 n 上的一點(diǎn)到 A、B 的路徑 之和最短，即

9、轉(zhuǎn)化為定點(diǎn) A' 到定點(diǎn) B 的最短路徑。如下圖：思路是把動(dòng)線 AM平移至 A'M，A'N+BN即轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn) A' 與定點(diǎn) B之間的最 路徑。本題的關(guān)鍵是定長(zhǎng)線段MN把動(dòng)線段分隔，此時(shí)須通過(guò)平移把動(dòng)線段A'N 、 BN變?yōu)檫B續(xù)路徑，也可以把點(diǎn)B向上平移 20 米與點(diǎn) A連接。例 7. 如圖， CD是直線 y=x 上的一條定長(zhǎng)的動(dòng)線段，且 CD=2，點(diǎn) A（ 4，0）， 連接 AC、AD，設(shè) C 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 m，求 m為何值時(shí)， ACD的周長(zhǎng)最小，并求出這個(gè)最小值。解析：兩條動(dòng)線段 AC、 AD居于動(dòng)點(diǎn)所在直線的兩側(cè)，不符合基本圖形中定 形（點(diǎn)線圓）應(yīng)在

10、動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)。首先把AC 沿直線 CD翻折至另一側(cè)，如下圖：現(xiàn)在把周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為 A'C+CD+AD，還需解決一個(gè)問(wèn)題：動(dòng)線段A'C 與 AD之間被定長(zhǎng)線段 CD阻斷， 動(dòng)線段必須轉(zhuǎn)化成連續(xù)的路徑。 同上題的道理， 把 A'C沿 CD 方向平移 CD 的長(zhǎng)度即可，如下圖?，F(xiàn)在已經(jīng)轉(zhuǎn)化為 A''D+AD 的最短路徑問(wèn)題，屬定點(diǎn)到定點(diǎn)，當(dāng) A''D 與 AD 共線時(shí) A''D+AD 最短，即為線段 AA'' 的長(zhǎng)?！救亲儞Q類】典型問(wèn)題：“胡不歸”例 8. 如圖， A地在公路 BC旁的沙漠里， A到 BC的距離

11、AH 2 3， AB 2 19，在公路 BC上行進(jìn)的速度是在沙漠里行駛速度的2 倍。某人在 B地工作，A 地家中父親病危，他急著沿直線BA趕路，誰(shuí)知最終沒(méi)能見(jiàn)到父親最后一面，其父離世之時(shí)思念兒子，連連問(wèn)：“胡不歸，胡不歸！”（怎么 還不回來(lái)），這真是一個(gè)悲傷的故事，也是因?yàn)椴欢當(dāng)?shù)學(xué)而導(dǎo)致的。那么， 從 B至 A 怎樣行進(jìn)才能最快到達(dá)？簡(jiǎn)析： BP段行駛速度是 AP段的 2 倍，要求時(shí)間最短即求 BP/2+AP最小，從 而考慮 BP/2 如何轉(zhuǎn)化，可以構(gòu)造含 30 °角利用三角函數(shù)關(guān)系把 BP/2 轉(zhuǎn)化 為另一條線段。如下圖，作CBD=30°， PQ BD，得 PQ=1/2B

12、P，由“垂線段最短”知當(dāng) A、P、Q共線時(shí) AP+PQ AQ'最小。相似變換類】典型問(wèn)題：“阿氏圓”“阿氏圓”：知平面上兩點(diǎn)A、 B，則所有滿足 PA/PB=k且不等于 1 的點(diǎn) P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿 氏圓，如下圖所示，其中 PO：BO AO：POPA：PBk。例 9.已知 A(-4 ，-4) 、B(0, 4) 、C(0, -6) 、 D(0, -1) ，AB與 x軸交于點(diǎn) E，以點(diǎn) E為圓心，ED長(zhǎng)為半徑作圓， 點(diǎn)M為 E上一動(dòng)點(diǎn)，求 1/2AM+CM 的 最小值。簡(jiǎn)析： 本題的主要問(wèn)題在于如何轉(zhuǎn)化1/2AM，注意到由條件知在 M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， EM： AE1：2 保持不變，從而想到構(gòu)造相似三角形，使之與 AEM 的相似比為 1： 2，這樣便可實(shí)現(xiàn) 1/2AM 的轉(zhuǎn)化，如下圖取 EN： EM 1： 2，即可得 EMN EAM，再得 MN=1/2AM，顯然， MN+CM的最小值就是定點(diǎn) N、 C之間的最短路徑。之后便是常規(guī)方法先求 N 點(diǎn)坐標(biāo)，再求 CN的長(zhǎng)。解法大一統(tǒng)】萬(wàn)法歸宗：路徑成最短，折線到直線。（所求路徑在一般情況下是若干折線的組合，這些折線在同一直線上時(shí)即 為最短路徑）基本圖形：動(dòng)點(diǎn)有軌跡，動(dòng)線居兩邊。（動(dòng)點(diǎn)軌跡可以是線或圓，動(dòng)線指動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)或定線、定圓的連線，動(dòng)線 與折線同