多元復(fù)合函數(shù)的微分法

1、證證),()(tttu 則則);()(tttv 定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù))(tu 及及)(tv 都都在在點點t t可可導(dǎo)導(dǎo)，函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點),(vu具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(),(ttfz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點t t可可導(dǎo)導(dǎo)，且且其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)可可用用下下列列公公式式計計算算： ，獲得改變量獲得改變量設(shè)設(shè)tt dtdvvzdtduuzdtdz ,21vuvvzuuzz 當(dāng)當(dāng)0 u，0 v時時，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 當(dāng)當(dāng)0 t時時， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztz

2、dtdzt 由由于于函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在點點),(vu有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)uvtz上定理的結(jié)論可推廣到上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個中間變量多于兩個的情況的情況.如如:dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz),(),(),(),(twwtvvtuuwvufz 則則.,sin,dtdztveuuvvuzt求其中設(shè)例4231.cos)sin12()sin3sin2(324tteeettetttt tvvztuuztzdddddd 解解：tuvuevuvtcos)12()32(324 上定理還可推廣到上定理還可推廣

3、到中間變量中間變量不是一元函數(shù)而不是一元函數(shù)而是是多元函數(shù)多元函數(shù)的情況：的情況：).,(),(),(yxvyxuvufz ,xvvzxuuzxz .yvvzyuuzyz uvxzy鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv u,v,w 都都在在點點),(yx具具有有對對 x 和和 y 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，f 的的偏偏 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù) ),(),(),(yxwyxyxfz 在在點點),(yx的的兩兩個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 zwvuyx類似地再推廣類似地再推廣: ),(yxu ),(yxv )

4、.,(yxww 設(shè)設(shè) ),(wvufz xwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz uxy2xyvezzuzvzwxuxvxwx22xyuvwyfey ffzzuzvzwyuyvywy22xyuvwxfxyeffzuvxyw2(,)xyzf xy exyf,zzxy例例2設(shè)設(shè)，其中偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求。解：設(shè)，則函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為：，則函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為：wxy2特殊復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)特殊復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)ztvutt),(tvufz )(),(tvvtuu其中其中f具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，(1),u、v可導(dǎo)，則：可導(dǎo)，則：tzddtuuzddtvvzddtzz對自變量對自

5、變量t的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)把把u、v看做不變，看做不變，z對對中間變量的偏導(dǎo)數(shù)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet ztvutt),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中把把復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù),),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別xwwzxvvzxuuzxz =1=0 x

6、zxuuz 自變量自變量中間變量中間變量(2)( , , )zf u v xuxysinvxzfufvfxuxvxxcosuvxyfxffzfuyuyuxf zuvxxy及(,sin , )zf xyx xzxzy例3 設(shè)，f 的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求。解：設(shè)函數(shù)關(guān)系圖為),(yxtfz xtfxz ytfyz ztxy復(fù)合關(guān)系圖為復(fù)合關(guān)系圖為: )(tfz ),( yxtt , f具有連續(xù)一階導(dǎo)函數(shù)具有連續(xù)一階導(dǎo)函數(shù),(3)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，復(fù)合函數(shù)為：一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，復(fù)合函數(shù)為：ztxy解解xtextdtdzxztcos2222tteytdtdzyz令令, zyxu ;xyzv 記記,),(uv

7、ufffu1 xwxvvfxuuf ;21fyzf ),(),(21xyzzyxfxyzzyxf 注：偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)具有遺傳性注：偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)具有遺傳性11223偏導(dǎo)數(shù)的簡單記號及復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的簡單記號及復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)解解,),(vvufffv2,12f 同理有同理有,11f ,21f .22f zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211fyfzxyfzxyf xzfyxxf

8、z 可導(dǎo)，求可導(dǎo)，求思考題：思考題： ,)(12)12 ()(122yxyxxff ),(),(21xyzzyxfxyzzyxf 1212.,yxzxzfxyyxfz226的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求例 , ,22,22122fxyfxyxyvfxyufxvvfxuufxzxyvyxu 得得解解：設(shè)設(shè)2231211322122221222122111221211 122fxyf yf yxfxfxxfxfxyfxxfxfxyfxyxz ),( ),( 2221xyyxfxyyxf 注意注意1212. .求求) ), ,( () ), ,( () ), ,( () ), ,( (設(shè)設(shè)例例7 7dxdux

9、ttx,thyx,ygzx,y,zfu解解：復(fù)合關(guān)系：復(fù)合關(guān)系：ufxyzhxtgxyhxtxtxt) )( () )( (zfyfxfdxdu dxdtthxh ) )( (dxdtthxhygxg zfyfxf dxdtthyfxh dxdtthygzfxhygzfxg xy xz xyygxg 又又當(dāng)當(dāng) z=f(u,v), ),(yxu 、),(yxv 時時， 有有 dyyzdxxzdz . 全微分形式不變性的實質(zhì)全微分形式不變性的實質(zhì)： 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣全微分形式是一樣的的.zvu、vu、 設(shè)設(shè)),(

10、vufz 具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有dvvzduuzdz ; dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 事實上事實上dyyudxxuux,yuu d ,)(可可微微dyyvdxxvvx,yvv d)(可可微微，：全全微微分分的的四四則則運運算算法法則則).0( ,dd)d()3(;dd)d()2(;dd)d()1(2 vvvuuvvuvuuvvuvuvu.致致的四則運算法則完全一的四則運算法則完全一的的則運算法則與一元函數(shù)則運算法則與一元函數(shù)多元函數(shù)的全微分的四多元函數(shù)的全微分的四22dd dd

11、1ddd ,1vvuuvvvuuvvvzuuzzvuz 設(shè)設(shè)）如如下下：驗驗證證（解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe.,),sin(yzxzyxezxy求設(shè)函數(shù)例29).2cos(2)2sin( ).2cos()2sin( yxeyxxeyzyxeyxyexzxyxyxyxy 解解法法一一： )2sin(dd yxezxy 用微分法，用微分法，解法二：解法二： yxyxexyyxexyxy2d)2cos(d)2sin( )2

12、sin(dd)2sin(yxeeyxxyxy yyxeyxxexyxeyxyeyxyxeyxxyyxezxyxyxyxyxyxyd)2cos(2)2sin(d)2cos()2sin(d2d)2cos(dd)2sin(d 可得：可得：由由dyyzdxxzz d).2cos(2)2sin( ).2cos()2sin( yxeyxxeyzyxeyxyexzxyxyxyxy 1、鏈式法則、鏈式法則（分三種情況）（分三種情況）2、全微分形式不變性、全微分形式不變性（特別要注意課中所講的特殊情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）（理解其實質(zhì)）（理解其實質(zhì)）小結(jié)小結(jié)設(shè)設(shè)),(xvufz ，而而)(xu ，)

13、(xv ，則則xfdxdvvfdxduufdxdz ，試試問問dxdz與與xf 是是否否相相同同？為為什什么么？思考題思考題思考題解答思考題解答不不相相同同. 等等式式左左端端的的z是是作作為為一一個個自自變變量量x的的函函數(shù)數(shù)， 而而等等式式右右端端最最后后一一項項f是是作作為為xvu,的的 三三元元函函數(shù)數(shù)， 寫寫出出來來為為 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 練練 習(xí)習(xí) 題題一、填空題一、填空題: : 1 1、設(shè)、設(shè)xyyxzcoscos , ,則則 xz_； yz_. .2 2、 設(shè)設(shè)22)23ln(yyxxz , ,則則 xz_； yz

14、_._. 3 3、設(shè)、設(shè)32sinttez , ,則則 dtdz_._.二二、設(shè)設(shè)uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .七、設(shè)七、設(shè),)(22yxfyz 其中為可導(dǎo)函數(shù)其中為可導(dǎo)函數(shù), , 驗證驗證: :211yzyzyxzx . .八、設(shè)八、設(shè) ,),(其其中中yyxxz 具有二階導(dǎo)數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù), ,求求 .,2222yzxz 一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(2222