數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第一章課件

1、數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 課程的內(nèi)容三種方程、 四種求解方法、 二個(gè)特殊函數(shù)分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)、拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)、勒讓德函數(shù) 數(shù)學(xué)物理方程定義描述某種物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)微分方程。一、 基本方程的建立第一章 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)二、 定解條件的推導(dǎo)三、 定解問題的概念一、 基本方程的建立條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的 橫振動(dòng)。不受外力影響。例1、弦的振動(dòng)研究對(duì)象：線上某點(diǎn)在 t 時(shí)刻沿縱向的位移。其中：其中：一維波動(dòng)方程令：-非齊次方程自由項(xiàng)-齊次方程忽略重力作用：例2、熱傳導(dǎo)所要研究的物理量：溫度 根據(jù)熱學(xué)中的傅里葉實(shí)驗(yàn)定律在

2、dt時(shí)間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時(shí)刻t1到t2通過S流入V的熱量為 高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分） 熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。熱場流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化 流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：熱傳導(dǎo)方程熱場穩(wěn)恒溫度場：有熱源：附注：在熱傳導(dǎo)問題中，如果溫度分布穩(wěn)定，即 ，熱傳導(dǎo)方程變?yōu)?此方程稱為 Poisson方程。特別的，若 ，即則稱此方程為Laplace方程，也稱調(diào)和方程。Poisson方程或Laplace方程統(tǒng)稱為位勢方程 初始時(shí)刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始

3、條件 描述穩(wěn)恒狀態(tài)，與初始狀態(tài)無關(guān)，不含初始條件A、 波動(dòng)方程的初始條件1、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度B、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(1) 給定溫度在邊界上的值S給定區(qū)域 v 的邊界(2) 絕熱狀態(tài)(3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：單位時(shí)間內(nèi)從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。熱交換系數(shù)； 周圍介質(zhì)的溫度第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件1、定解問題三、定解問題的概念(1) 初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2) 邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問

4、題。 把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問題。定解問題的檢驗(yàn) 解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng) 的微小變動(dòng)。3、線性偏微分方程的分類 按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程 按自由項(xiàng)是否為零分為齊次方程和非齊次方程2、微分方程一般分類 (1) 按自變量的個(gè)數(shù)，分為二元和多元方程；(2) 按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是否線性，分為線性微分方程和 非線性微分方程；(3) 按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階 和高階微分方程。線性方程的解具有疊加特性 4、疊加原理 幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果的累加。(物理上)判斷下列方程的類型思考5、微分方程的解 古典解：如果將某個(gè)函數(shù) u 代入偏微分方程中，能使方