冀教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第28章圓課件

第二十八章圓28.1圓的概念及性質(zhì)第二十八章圓28.1圓的概念及性質(zhì)1學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．通過觀察實(shí)驗(yàn)操作，感受圓的定義，結(jié)合圖形認(rèn)

識(shí)弧，半圓，弦，直徑，等圓，等弧，優(yōu)弧，劣

弧等有關(guān)概念；

2．在具體情景中，通過探究、交流、反思等活動(dòng)獲

得圓的有關(guān)定義，體驗(yàn)探求規(guī)律的思想方法．學(xué)習(xí)重點(diǎn)：圓的有關(guān)概念．學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．通過觀察實(shí)驗(yàn)操作，感受圓的定義，結(jié)合圖形認(rèn)

2古代人最早是從太陽，陰歷十五的月亮得到圓的概念的．那么是什么人做出第一個(gè)圓的呢？18000年前的山頂洞人用一種尖狀的石器來鉆孔，一面鉆不透，再?gòu)牧硪幻驺@，石器的尖是圓心，它的寬度的一半就是半徑，這樣以同一個(gè)半徑和圓心一圈圈地轉(zhuǎn)，就可以鉆出一個(gè)圓的孔．到了陶器時(shí)代，許多陶器都是圓的，圓的陶器是將泥土放在一個(gè)轉(zhuǎn)盤上制成的．引入新知古代人最早是從太陽，陰歷十五的月亮得到圓的概念的．那么是3我國(guó)古代，半坡人就已經(jīng)會(huì)造圓形的房頂了．大約在同一時(shí)代，美索不達(dá)米亞人做出了世界上第一個(gè)輪子——圓的木輪．很早之前，人們將圓的木輪固定在木架上，這樣就成了最初的車子．2000多年前，墨子給出圓的定義“一中同長(zhǎng)也”，意思是說，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等．這個(gè)定義比古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下的定義要早很多年．引入新知我國(guó)古代，半坡人就已經(jīng)會(huì)造圓形的房頂了．大約在同一時(shí)代，4學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知5如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段

OA

繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)

O

旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)

A

所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)

O

叫做圓心；線段

OA

叫做半徑；以點(diǎn)

O

為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”．圓的概念·rOA學(xué)習(xí)新知如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)6同心圓

等圓圓心相同，半徑不同確定一個(gè)圓的兩個(gè)要素:一是圓心，二是半徑．半徑相同，圓心不同O學(xué)習(xí)新知同心圓等圓圓心相同，半徑不同確定一個(gè)圓的兩個(gè)要素:一是圓心7問題1：圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離有什么規(guī)律？問題2：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)又有什么特點(diǎn)？·rOA學(xué)習(xí)新知問題1：圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離有什么規(guī)律？·rOA8動(dòng)態(tài)：在一個(gè)平面內(nèi)，線段

OA

繞它固定的一個(gè)端

點(diǎn)

O

旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)

A

所形成的圖形叫做圓．靜態(tài)：圓心為

O、半徑為

r

的圓可以看成是所有到

定點(diǎn)

O

的距離等于定長(zhǎng)

r

的點(diǎn)的集合．學(xué)習(xí)新知?jiǎng)討B(tài)：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端

點(diǎn)O旋9經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖中的

AB．連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如圖中的AC．弦COAB與圓有關(guān)的概念經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖中的AB．連接圓上任意兩點(diǎn)的線段10圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱?。訟、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”．ABCOAB與圓有關(guān)的概念圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓11劣弧與優(yōu)弧小于半圓的?。ㄈ鐖D中的

）叫做劣弧．AC大于半圓的?。ㄓ萌齻€(gè)字母表示，如圖中的

）叫做優(yōu)?。瓵BCCOAB與圓有關(guān)的概念劣弧與優(yōu)弧小于半圓的?。ㄈ鐖D中的）叫做劣?。瓵C大于半12在同圓或等圓中，能重合的弧叫等?。然∨c圓有關(guān)的概念在同圓或等圓中，能重合的弧叫等?。然∨c圓有關(guān)的概念13由弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．弓形與圓有關(guān)的概念由弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．弓形與圓有關(guān)的概念14能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓，等圓的半徑相等.等圓與圓有關(guān)的概念能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓，等圓的半徑相等.等圓與圓有關(guān)的概念15證明：連接AC，DB.AB，CD為⊙O的直徑，OA=OB,OC=OD.四邊形ADBC為平行四邊形，AD//CB.應(yīng)用拓展例1已知：如圖，AB，CD為⊙O的直徑.求證：AD//CB.證明：連接AC，DB.應(yīng)用拓展例1已知：如圖，AB，CD16（）1．判斷下列說法的正誤：（1）弦是直徑；（2）半圓是??；（3）過圓心的線段是直徑；（5）圓心相同，半徑相等的兩個(gè)圓是同心圓；（4）半圓是最長(zhǎng)的??；（6）半徑相等的兩個(gè)半圓是等?。痢獭痢痢痢虘?yīng)用拓展（）（）（）（）（）（）1．判斷下列說法的正誤：（1）弦是直徑；（2）半17第二十八章圓28.2過三點(diǎn)的圓第二十八章圓28.2過三點(diǎn)的圓18車間工人要將一個(gè)如圖所示的破損的圓盤復(fù)原，你有辦法嗎？生活生產(chǎn)中的問題：車間工人要將一個(gè)如圖所示的破損的圓盤復(fù)原，你有辦法嗎？生活生19●A確定圓的條件類比確定直線的條件:經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線；經(jīng)過兩點(diǎn)只能作一條直線.●A●B●A確定圓的條件類比確定直線的條件:經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線20確定圓的條件

1.想一想,經(jīng)過一點(diǎn)可以作幾個(gè)圓?經(jīng)過兩點(diǎn),三點(diǎn),…,呢？

(1)作圓,使它過已知點(diǎn)A.你能作出幾個(gè)這樣的圓?●O●O●O●O●O●A(2)作圓,使它過已知點(diǎn)A,B.你能作出幾個(gè)這樣的圓?●O●O●B●A確定圓的條件

1.想一想,經(jīng)過一點(diǎn)可以作幾個(gè)圓?經(jīng)過兩點(diǎn),三212.過已知點(diǎn)A,B作圓,可以作無數(shù)個(gè)圓.經(jīng)過兩點(diǎn)A,B的圓的圓心在線段AB的垂直平分線上.以線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)為圓心,這點(diǎn)到A或B的距離為半徑作圓.你準(zhǔn)備如何(確定圓心,半徑)作圓？其圓心的分布有什么特點(diǎn)?與線段AB有什么關(guān)系？●O●OO●A●B2.過已知點(diǎn)A,B作圓,可以作無數(shù)個(gè)圓.經(jīng)過兩點(diǎn)A,B的圓22ABC過如下三點(diǎn)能不能做圓?為什么?ABC過如下三點(diǎn)能不能做圓?為什么?233.作圓,使它過已知點(diǎn)A,B,C(A,B,C三點(diǎn)不在同一條直線上),你能作出幾個(gè)這樣的圓?你準(zhǔn)備如何(確定圓心,半徑)作圓？其圓心的位置有什么特點(diǎn)?與A,B,C有什么關(guān)系？經(jīng)過兩點(diǎn)A,B的圓的圓心在線段AB的垂直平分線上.經(jīng)過三點(diǎn)A,B,C的圓的圓心應(yīng)該這兩條垂直平分線的交點(diǎn)O的位置.┓┏●O●

A●B●C經(jīng)過兩點(diǎn)B,C的圓的圓心在線段BC的垂直平分線上.3.作圓,使它過已知點(diǎn)A,B,C(A,B,C三點(diǎn)不在同一條直24請(qǐng)你作圓,使它過已知點(diǎn)A,B,C(A,B,C不共線).作法：1.連接AB,BC.2.分別作線段AB，BC的垂直平分線DE和FG,DE與FG相交于點(diǎn)O.3.以O(shè)為圓心,OA(或OB,或OC)為半徑,作圓.⊙O即為所求.請(qǐng)你作圓,使它過已知點(diǎn)A,B,C(A,B,C不共線).作法：25請(qǐng)你證明你做得圓符合要求.∵點(diǎn)O在AB的垂直平分線上，∴⊙O就是所求作的圓,┓ED┏GF●A●C●B●O∴OA=OB.同理,OB=OC.∴OA=OB=OC.∴點(diǎn)A,B,C在以O(shè)為圓心的圓上.這樣的圓可以作出幾個(gè)?為什么?.證明:連接AO，BO，CO.請(qǐng)你證明你做得圓符合要求.∵點(diǎn)O在AB的垂直平分線上，∴⊙O26三點(diǎn)定圓定理不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.在上面的作圖過程中.∵直線DE和FG只有一個(gè)交點(diǎn)O,并且點(diǎn)O到A,B,

C三個(gè)點(diǎn)的距離相等,∴經(jīng)過點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)可以作一個(gè)圓,并且只能作一個(gè)圓.三點(diǎn)定圓定理不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.在上面的作27定理：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.現(xiàn)在你知道了嗎？根據(jù)這個(gè)定理怎樣確定一個(gè)圓？只要有不在同一條直線上的三點(diǎn)，確定一個(gè)圓.定理：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.現(xiàn)在你知道了嗎？28現(xiàn)在你知道了怎樣要將一個(gè)如圖所示的破損的圓盤復(fù)原了嗎？現(xiàn)在你知道了怎樣要將一個(gè)如圖所示的破損的圓盤復(fù)原了嗎？29圖中工具的CD邊所在直線恰好垂直平分AB邊，怎樣用這個(gè)工具找出一個(gè)圓的圓心？最少幾次？CABD·圓心畫一畫圖中工具的CD邊所在直線恰好垂直平分AB邊，怎樣用這個(gè)工具找30三角形與圓的位置關(guān)系因此,三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓,這圓叫做三角形的外接圓.這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的的交點(diǎn),叫做三角形的外心.●OABC三角形與圓的位置關(guān)系因此,三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓,這圓叫31例

用尺規(guī)作過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓.已知：如圖28-2-2，△ABC.求作：⊙O，使它過三點(diǎn)A，B，C.例用尺規(guī)作過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓.32作法：如圖28-2-3.（1）分別作線段AB和BC的垂直平分線l1和l2，設(shè)l1與l2相交于點(diǎn)O.(2)以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑畫圓.⊙O即為所求.作法：如圖28-2-3.33判斷：1、經(jīng)過三點(diǎn)一定可以作圓.（）2、三角形的外心就是這個(gè)三角形兩邊垂直平分線的交點(diǎn).（）3、三角形的外心到三邊的距離相等.（）4、等腰三角形的外心一定在這個(gè)三角形內(nèi).（）×√××練一練判斷：×√××練一練341.如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，∠A=40°,則∠BOC=______.80°鞏固練習(xí)1.如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，∠A=40°,則352.如圖，點(diǎn)O為△ABC的外心，且∠A=80°，∠BOC=______.鞏固練習(xí)160°2.如圖，點(diǎn)O為△ABC的外心，且∠A=80°，∠BOC363．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠BOD=100°，則∠DAB的度數(shù)為（）

A．50°B．80°C．100°D．130°D∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O【解析】∵∠BOD=100°∴∠C＝∠BOD=50°∴∠A＝180°-∠C=130°3．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠BOD=100°，37基礎(chǔ)練習(xí)1.下列命題不正確的是（

C

）

A.過一點(diǎn)有無數(shù)個(gè)圓

B.過兩點(diǎn)有無數(shù)個(gè)圓.C.過三點(diǎn)能確定一個(gè)圓

D.過同一直線上三點(diǎn)不能2.三角形的外心具有的性質(zhì)是（B

）A.到三邊的距離相等B.到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等C.外心在三角形的外

D.外心在三角形內(nèi)基礎(chǔ)練習(xí)1.下列命題不正確的是（C）38（1）只有確定了圓心和圓的半徑，這個(gè)圓的位置和大小才唯一確定.（2）經(jīng)過一個(gè)已知點(diǎn)能作無數(shù)個(gè)圓?。?）經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)A、B能作無數(shù)個(gè)圓！這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上.（4）不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.（5）外接圓，外心的概念.結(jié)論（1）只有確定了圓心和圓的半徑，這個(gè)圓的位置和大小才唯一確定39三角形的外心是三角形的圓心外接圓是

的交點(diǎn)三邊垂直平分線到三頂點(diǎn)的距離相等三角形的外心是三角形的圓心外接圓是的交點(diǎn)三邊垂直40第二十八章圓

28.3圓心角和圓周角（1）第二十八章圓28.3圓心角和圓周角（1）41學(xué)習(xí)新知(把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度,所得的圖形與原圖形重合,即圓有旋轉(zhuǎn)不變性)知識(shí)準(zhǔn)備1.圓是不是中心對(duì)稱圖形?對(duì)稱中心是什么?(圓是中心對(duì)稱圖形,圓心是它的對(duì)稱中心)2.將課前準(zhǔn)備的兩個(gè)圓形紙片重合在一起,繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)其中一個(gè)圓,你發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象?學(xué)習(xí)新知(把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度,所得的圖形與原圖42圓心角定義圓心角:頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.【思考】1.如圖所示,哪些角是圓心角?哪些角不是圓心角?(1)和(4)所示的∠AOB為☉O的圓心角,(2)和(3)所示的∠APB不是☉O的圓心角.圓心角定義圓心角:頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.【思考】(1)和432.如圖所示,圖中有幾個(gè)圓心角?分別是什么?(三個(gè),分別是∠AOB,∠AOC,∠BOC)2.如圖所示,圖中有幾個(gè)圓心角?分別是什么?(三個(gè),分別是∠44(1)猜想弦AB,CD以及,之間各個(gè)有怎樣的關(guān)系;圓心角、弦、弧之間的關(guān)系如圖所示,在☉O中,∠AOB=∠COD.(2)請(qǐng)用圖形的旋轉(zhuǎn)說明你的猜想.(1)猜想弦AB,CD以及,圓心角、45在課前準(zhǔn)備的圓形紙片上畫出∠AOB旋轉(zhuǎn)到∠COD的圖.1.將∠AOB旋轉(zhuǎn)到∠COD的位置,它能否與∠AOB完全重合?2.如果能重合,你會(huì)發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系?3.你能證明這些結(jié)論嗎?4.在兩個(gè)等圓中,如果圓心角∠AOB=∠A'O'B',如圖所示,你能否得到相同的結(jié)論?5.你能用語言敘述上面的命題嗎?在課前準(zhǔn)備的圓形紙片上畫出∠AOB旋轉(zhuǎn)到∠COD的圖.1.將46定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弧也相等.設(shè)∠AOC=，將△AOB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則AO與CO重合，BO與DO重合.∴AB與CD重合，與重合.∴AB=CD，=.定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弧也相474.在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角及所對(duì)應(yīng)的兩條弦和所對(duì)應(yīng)的兩條弧這三組量中,只要有一組量相等,那么其他兩組量是否相等?【思考】1.在圓心角性質(zhì)定理中,為什么要說“在同圓或等圓中”?能不能去掉?2.在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,能得到什么結(jié)論?3.在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,能得到什么結(jié)論?4.在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角及所對(duì)應(yīng)的兩條弦和所對(duì)應(yīng)的兩條48在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對(duì)的圓心角相等,所對(duì)的弧相等.即:在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角及所對(duì)應(yīng)的兩條弦和所對(duì)應(yīng)的兩條弧這三組量中,只要有一組量相等,其他兩組量就分別相等.在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對(duì)的圓心角相等,所對(duì)的弦相等.在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對(duì)的圓心角相等,所49填空:如圖所示,AB,CD是☉O的兩條弦.即時(shí)練習(xí)(1)如果AB=CD,那么

,

.

(3)如果∠AOB=∠COD,那么

,

.

(2)如果=,那么

,

.

AB=CDAB=CD填空:如圖所示,AB,CD是☉O的兩條弦.即時(shí)練習(xí)(1)如果50(教材154頁(yè)例1)如圖所示,已知AB為☉O的直徑,點(diǎn)M,N分別在AO,BO上,CM⊥AB,DN⊥AB,分別交☉O于點(diǎn)C,D,且.求證CM=DN.證明:如圖所示,連接OC,OD.，即+=+.∴=.∴∠AOC=∠BOD.在Rt△CMO和Rt△DNO中,∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴∠CMO=∠DNO=90°.又∵OC=OD,∠MOC=∠NOD,∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴CM=DN.(教材154頁(yè)例1)如圖所示,已知AB為☉O的直徑,點(diǎn)M,N51[知識(shí)拓展]

1.圓心角、弦、弧之間的關(guān)系的結(jié)論必須是在同圓或等圓中才能成立.2.利用同圓(或等圓)中圓心角、弦、弧之間的關(guān)系可以證明角、弦或弧相等.3.圓心角的度數(shù)與所對(duì)弧的度數(shù)相等.[知識(shí)拓展]521.在同圓或等圓中,如果,那么AB與CD的關(guān)系是 (

)

A.AB>CD B.AB=CDC.AB<CD D.無法確定解析:在同圓或等圓中,相等的弧所對(duì)的弦相等,所以由得AB=CD.故選B.B檢測(cè)反饋1.在同圓或等圓中,如果532.如圖所示,AB是☉O的直徑,

∠COD=34°,則∠AEO的度數(shù)是 (

)A.51° B.56°C.68° D.78°解析:∵

，∠COD=34°,∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°,∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°.又∵OA=OE,∴∠AEO=∠OAE,∴∠AEO=×(180°-78°)=51°.故選A.A2.如圖所示,AB是☉O的直徑,543.如圖所示,在☉O中,,∠A=40°,則∠B=

.

解析:∵,∴AB=AC,∵∠A=40°,∴∠B=∠C=(180°-∠A)÷2=70°.故填70°.70°3.如圖所示,在☉O中,55(2)如果OE=OF,那么與的大小有什么關(guān)系?AB與CD的大小有什么關(guān)系?為什么?∠AOB與∠COD呢?4.如圖所示,在☉O中,AB,CD是兩條,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分別為E,F.(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE與OF的大小有什么關(guān)系?為什么?(2)如果OE=OF,那么與的56∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB=∠AOB,∠FOD=∠COD,解:(1)OE=OF.理由是:∵∠AOB=∠COD,∴∠EOB=∠FOD,∵OB=OD,∴△EOB≌△FOD(AAS),∴OE=OF.∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,解:(1)57(2),AB=CD,∠AOB=∠COD,理由是:∵OE⊥AB,OF⊥CD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∵OB=OD,OE=OF,∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL),∴BE=DF,∵OA=OB,OE⊥AB,∴AB=2BE,同理CD=2DF,∴AB=CD,,∠AOB=∠COD.(2),AB=CD,∠58第二十八章圓

28.3圓心角和圓周角（2）第二十八章圓28.3圓心角和圓周角（2）59

左下圖所示的是一圓柱形海洋館,在這個(gè)海洋館里,人們可以通過其中的圓弧形玻璃窗()觀看窗內(nèi)的海洋動(dòng)物.右下圖為海洋館的橫截面示意圖.2.如果同學(xué)丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E,他們的視角(∠ADB和∠AEB)的主要特征是什么?他們和同學(xué)甲的視角(∠AOB)有什么關(guān)系?1.如右圖所示,同學(xué)甲站在圓心O的位置,同學(xué)乙站在正對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置C,則他的視角(∠ACB)是圓心角嗎?他與甲的視角(∠AOB)有什么關(guān)系?左下圖所示的是一圓柱形海洋館,在這個(gè)海洋館里,人們可以通60

我們把圖中∠ACB、∠ADB、∠AEB這樣的頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓都相交的角叫做圓周角．圓周角的概念·ABCDEO我們把圖中∠ACB、∠ADB、∠AEB這樣的頂點(diǎn)在圓61觀察下列圖形中的角都是圓周角嗎?【圖(1)中∠APB是圓周角,圖(2)和圖(3)中∠AQB,∠ARB不是圓周角,圖(4)中的∠ASB是圓周角,而∠ASC不是圓周角】觀察下列圖形中的角都是圓周角嗎?【圖(1)中∠APB是圓周角62請(qǐng)畫一個(gè)圓，在這圓上截取一段，并畫出所對(duì)的任意的兩個(gè)圓周角∠APB和∠AQB

，用量角器量出這兩個(gè)角的大小.這兩個(gè)角具有什么關(guān)系？同弧所對(duì)的圓周角都相等.請(qǐng)畫一個(gè)圓，在這圓上截取一段，并畫出所對(duì)的任意的兩63·PABO再分別量出圖中所對(duì)的圓周角和圓心角的度數(shù)，比較一下，你什么發(fā)現(xiàn)？·PABO再分別量出圖中所對(duì)的圓周角和圓心64如圖，在⊙O中，AP為直徑，∠AOB和∠APB分別是所對(duì)的圓心角和圓周角，你認(rèn)為∠AOB與∠APB的大小具有什么關(guān)系？說出你的理由.·POAB即∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP．又∠AOB=∠OPB+∠OBP，∴∠AOB=2∠OPB，如圖，在⊙O中，AP為直徑，∠AOB和∠APB分別是所65

如圖，在⊙O中，當(dāng)所對(duì)的圓心角∠AOB與圓周角∠APB具有如圖所示的兩種位置關(guān)系時(shí)，它們是否還具有上述的數(shù)量關(guān)系？為什么？·POABD·POABD如圖，在⊙O中，當(dāng)所對(duì)的圓心角∠AOB與圓周角∠A66·POABD連接PO并延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)D,∵PD過圓心O,∴∠APD=∠AOD,∠BPD=∠BOD.∴∠BPD-∠APD=∠BOD-∠AOD.∴∠APB=∠AOB.·POABD連接PO并延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)D,∵PD過圓心O,∴∠67·POABD連接PO并延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)D,∵PD過圓心O,∴∠APD=∠AOD,∠BPD=∠BOD.∴∠APD+∠BPD=∠AOD+∠BOD.∴∠APB=∠AOB.圓周角定理:圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.·POABD連接PO并延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)D,∵PD過圓心O,∴∠68(教材157頁(yè)例2)如圖所示,點(diǎn)A,B,C均在☉O上,∠OAB=46°.求∠ACB的度數(shù).解:如圖所示,連接OB.∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∵∠OAB=46°,∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×46°=88°.∴∠ACB=∠AOB=44°.(教材157頁(yè)例2)如圖所示,點(diǎn)A,B,C均在☉O上,∠OA69·ABC1OC2C3

半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．大家談?wù)?.在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧之間有什么關(guān)系？2.半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角嗎?90°的圓周角所對(duì)弦是直徑嗎？·ABC1OC2C3大家談?wù)?.在同圓或等圓中，相等的圓周角703.根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,構(gòu)造直角三角形,利用直角三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題.[知識(shí)拓展]

1.定理中的圓周角與圓心角是通過它們所對(duì)的同一條弧聯(lián)系在一起的,故不能把“同一條弧”這一前提條件省略.2.計(jì)算圓周角時(shí),常轉(zhuǎn)化為計(jì)算同弧所對(duì)的圓心角解決.3.根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,構(gòu)造直角三角形,利用直角三角71檢測(cè)反饋1.如圖所示,點(diǎn)A,B,C都在☉O上,若∠C=35°,則∠AOB的度數(shù)為(

)A.35° B.56°C.65° D.70°解析:∠C與∠AOB是所對(duì)的圓周角和圓心角,由圓周角定理可得∠AOB=2∠C=2×35°=70°.故選D.D檢測(cè)反饋1.如圖所示,點(diǎn)A,B,C都在☉O上,若∠C=35°722.如圖所示,△ABC的頂點(diǎn)A,B,C都在☉O上,∠OBC=25°,則∠A的度數(shù)為 (

)A.70° B.65°C.60° D.50°解析:∵OB=OC,∠OBC=25°,∴∠OCB=∠OBC=25°,∴∠COB=180°-25°-25°=130°,∴∠A=∠COB=×130°=65°.故選B.B2.如圖所示,△ABC的頂點(diǎn)A,B,C都在☉O上,∠OBC=733.如圖所示,點(diǎn)A,B,C都在☉O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB=

.

解析:由圓周角定理可得∠ACB=∠AOB,即∠AOB=2∠ACB,又因?yàn)椤螦OB+∠ACB=84°,所以2∠ACB+∠ACB=84°,解得∠ACB=28°.故填28°.28°3.如圖所示,點(diǎn)A,B,C都在☉O上,如果∠AOB+∠ACB744.如圖所示,AB是☉O的直徑,BD是☉O的弦,延長(zhǎng)BD到C,使AC=AB,BD與CD的大小有什么關(guān)系?為什么?解:BD=CD.理由如下:連接AD,∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,解析:在圓中,常作直徑所對(duì)的圓周角,構(gòu)造直角后利用三角形的性質(zhì)求解.又∵AC=AB,∴△ABC是等腰三角形,∴BD=CD.4.如圖所示,AB是☉O的直徑,BD是☉O的弦,延長(zhǎng)BD到C75第二十八章圓

28.3圓心角和圓周角（3）第二十八章圓28.3圓心角和圓周角（3）76學(xué)習(xí)新知

足球訓(xùn)練場(chǎng)上教練在球門前劃了一個(gè)圓圈進(jìn)行無人防守的射門訓(xùn)練如圖所示,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員分別在C,D兩處,他們爭(zhēng)論不休,都說在自己所在的位置對(duì)球門AB的張角大,如果你是教練,請(qǐng)?jiān)u一評(píng)他們兩個(gè)人誰的位置對(duì)球門AB的張角大,為什么?問題思考學(xué)習(xí)新知足球訓(xùn)練場(chǎng)上教練在球門前劃了一個(gè)圓圈進(jìn)行77

如圖所示,∠ACB與∠ADB分別為☉O上同一條弧AB所對(duì)的兩個(gè)圓周角.(1)∠ACB與∠ADB之間具有怎樣的大小關(guān)系?(2)試證明你的猜想.如圖所示,∠ACB與∠ADB分別為☉O上同一條弧AB78解:(1)∠ACB=∠ADB.(2)證明如下:連接OA,OB,如圖所示,∵∠ACB=∠AOB,∠ADB=∠AOB,∴∠ACB=∠ADB.結(jié)論:同弧所對(duì)的圓周角相等.解:(1)∠ACB=∠ADB.(2)證明如下:連接OA,OB79

四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓.四邊形的外接圓四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個(gè)80∠BCD和∠BAD分別為和所對(duì)的圓周角,∵

和所對(duì)的圓心角之和為360°,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)如圖所示,已知四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形.求證∠BCD+∠BAD=180°,∠ABC+∠ADC=180°.證明:連接OB,OD.∴∠BCD+∠BAD=180.同理,∠ABC+∠ADC=180°.結(jié)論:圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).∠BCD和∠BAD分別為和81(教材160頁(yè)例3)如圖所示,已知四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形,∠DCE為四邊形ABCD的一個(gè)外角.求證∠DCE=∠BAD.證明:∵四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠BAD+∠BCD=180°.∵∠BCD+∠DCE=180°,∴∠DCE=∠BAD.(教材160頁(yè)例3)如圖所示,已知四邊形ABCD為☉82[知識(shí)拓展]

1.圓周角定理包含兩個(gè)獨(dú)立的條件,可以分開使用,即“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”以及“在同圓或等圓中,同一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半”.2.若將“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”,則結(jié)論不一定成立.3.圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角.4.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)是解決有關(guān)角的計(jì)算和證明常用的結(jié)論.[知識(shí)拓展]1.圓周角定理包含兩個(gè)獨(dú)立的條件,可以分開使用83檢測(cè)反饋1.如圖所示,AB是☉O的直徑,CD是☉O的弦,∠ABD=58°,則∠BCD等于 (

)A.16°

B.32°C.58° D.64°解析:∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°.∵∠ABD=58°,∴∠A=90°-∠ABD=32°,由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠BCD=∠A=32°.故選B.B檢測(cè)反饋1.如圖所示,AB是☉O的直徑,CD是☉O的弦,∠A842.若ABCD為圓內(nèi)接四邊形,則下列選項(xiàng)可能成立的是(

)A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶3∶4C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=3∶2∶1∶4D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=4∶3∶3∶2解析:根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ),四個(gè)角度所占的份數(shù)滿足對(duì)角和相等,只有選項(xiàng)B符合2+3=1+4,符合性質(zhì).故選B.B2.若ABCD為圓內(nèi)接四邊形,則下列選項(xiàng)可能成立的是(853.如圖所示,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,∠B=30°,則∠D=

.

解析:∵圓內(nèi)接四邊形ABCD中,∠B=30°,∴∠D=180°-30°=150°.故填150°.150°3.如圖所示,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,∠B=30°,則∠D864.如圖所示,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AB是☉O的直徑,∠BCD=120°,BC=CD.(1)求證:CD∥AB.(2)求S△ACD∶S△ABC的值.證明:(1)∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵∠BCD=120°,∴∠ACD=30°,∵四邊形ADCB是圓內(nèi)接四邊形,∴∠DAB=180°-∠BCD=60°,∵BC=CD,∴弧BC=弧CD,4.如圖所示,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AB是☉O的直徑,∠87∴∠DAC=∠BAC=×60°=30°,∴∠B=90°-∠BAC=60°,∴∠B+∠BCD=180°,∴CD∥AB;解:(2)連接OC,OD,如圖所示,由(1)知∠DAC=30°,∴∠DOC=2∠DAC=60°,∴△ODC為等邊三角形,又∵∠B=60°,∴△OBC為等邊三角形,∵AB∥CD,∴S△ADC=S△ODC,又∵S△OBC=S△ODC,∴S△ABC=2S△OBC,∴S△ACD∶S△ABC=1∶2.∴∠DAC=∠BAC=×60°=30°,∴∠B=9088第二十八章圓

28.4垂徑定理第二十八章圓28.4垂徑定理89學(xué)習(xí)新知

趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷史,是我國(guó)古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m,你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎?(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)學(xué)習(xí)新知趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋,距今約有90在自己課前準(zhǔn)備的紙片上作圖:1.任意作一條弦AB.2.過圓心O作弦AB的垂線,得直徑CD交AB于點(diǎn)E.3.觀察圖形,你能找到哪些線段相等?哪些弧相等?4.沿著CD所在的直線折疊,觀察有哪些相等的線段、弧.5.圖形中的已知是什么?你得到的結(jié)論是什么?你能寫出你的證明過程嗎?在自己課前準(zhǔn)備的紙片上作圖:1.任意作一條弦AB.2.過圓心91如圖所示,在☉O中,CD為直徑,AB為弦,且CD⊥AB,垂足為E.求證AE=BE,證明:如圖所示,連接OA,OB.在△OAB中,∵OA=OB,OE⊥AB,∴AE=BE,∠AOE=∠BOE.∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE,∴∠AOC=∠BOC.如圖所示,在☉O中,CD為直徑,AB為弦,且CD⊥AB,垂足92垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.幾何語言:在☉O中,CD為直徑,CD⊥AB,∴AE=BE,垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對(duì)的兩條93(2)若=(或=),能判斷CD與AB垂直嗎?AE與BE相等嗎?說明你的理由.

與(或與)相等嗎?說明你的理由.垂徑定理的推論如圖所示,在☉O中,直徑CD與弦AB(非直徑)相交于點(diǎn)E.【思考】(1)若AE=BE,能判斷CD與AB垂直嗎?(2)若=(或94解:(1)CD⊥AB,(或).理由是:連接OA,OB,如圖所示,則△OAB是等腰三角形,∵AE=BE,∴CD⊥AB.由垂徑定理可得(2)CD⊥AB,AE=BE.理由是：∵

,∴∠AOD=∠BOD,又∵OA=OB,OE=OE,∴△AEO≌△BEO,∴∠AEO=∠BEO,AE=BE,∴CD⊥AB.解:(1)CD⊥AB,(95追加思考:(1)垂徑定理中的條件和結(jié)論分別是什么?用語言敘述.(2)上面思考(1)(2)中的條件和結(jié)論分別是什么?(3)如果不要求“弦不是直徑”上述結(jié)論還成立嗎?追加思考:(2)上面思考(1)(2)中的條件和結(jié)論分別是什么96在☉O中,設(shè)直徑CD與弦AB(非直徑)相交于點(diǎn)E.若把AE=BE,CD⊥AB,中的一項(xiàng)作為條件,則可得到另外兩項(xiàng)結(jié)論.在☉O中,設(shè)直徑CD與弦AB(非直徑)相交于點(diǎn)E.若把AE=97(教材164頁(yè)例)如圖所示,已知CD為☉O的直徑,AB為弦,且AB⊥CD,垂足為E.若ED=2,AB=8,求直徑CD的長(zhǎng).思考:1.如何把圓的半徑轉(zhuǎn)化為三角形中的線段?(連接半徑,構(gòu)造直角三角形)2.構(gòu)造的直角三角形中三邊之間有什么特點(diǎn)?(根據(jù)垂徑定理得三角形一邊是弦長(zhǎng)的一半,另兩邊的長(zhǎng)正好相差ED長(zhǎng))(教材164頁(yè)例)如圖所示,已知CD為☉O的直徑983.直角三角形中已知一邊、另外兩邊之間的關(guān)系,如何求另兩邊長(zhǎng)?(設(shè)未知數(shù),用勾股定理列方程求解)3.直角三角形中已知一邊、另外兩邊之間的關(guān)系,如何求另兩邊長(zhǎng)99解:如圖所示,連接OA.設(shè)☉O的半徑為r.∵CD為☉O的直徑,AB⊥CD,∴AE=BE.∵AB=8,∴AE=BE=4.在Rt△OAE中,OA2=OE2+AE2,OE=OD-ED,即r2=(r-2)2+42.解得r=5,從而2r=10.所以直徑CD的長(zhǎng)為10.解:如圖所示,連接OA.設(shè)☉O的半徑為r.∵CD為☉O的直徑100趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷史,是我國(guó)古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m,你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎?(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷史,是我101解:如圖所示,用表示主橋拱,設(shè)所在圓的圓心為O,半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC,D為垂足,OC與相交于點(diǎn)C,連接OA.根據(jù)垂徑定理知D為AB的中點(diǎn),C為的中點(diǎn),CD就是拱高.由題設(shè)可知,AB=37.4m,CD=7.2m,所以AD=AB=×37.4=18.7(m),OD=OC-CD=R-7.2(m).解:如圖所示,用表示主橋拱,設(shè)所102即R2=18.72+(R-7.2)2.解得R≈27.9(m).因此,趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.【思考】1.在圓中解決有關(guān)弦的問題,常作什么輔助線?2.在圓中解決有關(guān)弦的問題,常用什么方法?在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.72+(R-7.2)2.解得R≈27.9(m)103[知識(shí)拓展]

1.由垂徑定理可以得到以下結(jié)論:(1)若直徑垂直于弦,則直徑平分弦及其所對(duì)的兩條弧.(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.(3)垂直且平分一條弦的弦是直徑.(4)連接弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)的線段是直徑.綜上所述,可以知道在①過圓心,②垂直于弦,③平分弦,④平分弦所對(duì)的劣弧,⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)弧這五項(xiàng)中滿足其中任意兩項(xiàng),就可以推出另外三項(xiàng),簡(jiǎn)稱“5.2.3”定理.[知識(shí)拓展]1.由垂徑定理可以得到以下結(jié)論:綜上所述,可以1042.利用垂徑定理及其推論可以證明平分弧、平分弦,證明垂直,證明一條線段是直徑.3.利用垂徑定理的推論可以確定圓心的位置:在圓中找兩條不平行的弦,分別作兩條弦的垂直平分線,兩條垂直平分線的交點(diǎn)即是圓心.4.由于垂直于弦的直徑平分弦,因此可以在圓中構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理列方程求弦長(zhǎng)(或半徑).5.圓心到弦的距離叫做弦心距.2.利用垂徑定理及其推論可以證明平分弧、平分弦,證明垂直,證105檢測(cè)反饋1.如圖所示,AB是☉O的直徑,CD是弦,CD⊥AB于點(diǎn)E,則下列結(jié)論不一定成立的是(

)A.∠COE=∠DOE B.CE=DEC.OE=BE D.解析:由垂徑定理可知B,D均成立;由△OCE≌△ODE可得A也成立.不一定成立的是OE=BE.故選C.C檢測(cè)反饋1.如圖所示,AB是☉O的直徑,CD是弦,解析:由垂106解析:過點(diǎn)O作OC⊥AB于C,∵OC過點(diǎn)O,∴AC=BC=AB=12,在Rt△AOC中,由勾股定理,得OC==5.故選B.2.如圖所示,已知☉O的半徑為13,弦AB長(zhǎng)為24,則點(diǎn)O到AB的距離是 (

)A.6 B.5 C.4 D.3B解析:過點(diǎn)O作OC⊥AB于C,∵OC過點(diǎn)O,∴AC=2.如圖107解析:當(dāng)弦與OP垂直時(shí),OP的值最小,連接OA,由勾股定理可得OP==4;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí),OP的值最大,此時(shí)OP為☉O的半徑5.故填4≤OP≤5.3.如圖所示,☉O的直徑為10,弦AB的長(zhǎng)為6,P是AB上一動(dòng)點(diǎn),則線段OP的長(zhǎng)的取值范圍是

.

4≤OP≤5解析:當(dāng)弦與OP垂直時(shí),OP的值最小,連接OA,由勾股定理可1084.如圖所示,AB是☉O的弦,半徑OC⊥AB于點(diǎn)D.(1)若AB=8cm,OC=5cm,求CD的長(zhǎng);(2)若OC=5cm,OD=3cm,求AB的長(zhǎng);(3)若AB=8cm,CD=2cm,求☉O的半徑.解:連接OA,則AO=OC.∵OC⊥AB,∴∠ODA=90°.4.如圖所示,AB是☉O的弦,半徑OC⊥AB于點(diǎn)D.解:連接109(2)在Rt△OAD中,OA=5cm,OD=3cm,AD===4(cm),∵OC⊥AB,∴AB=2AD=8cm.(1)∵OC⊥AB,∴AD=AB=4cm,在Rt△OAD中,OA=5cm,OD===3(cm),∴CD=OC-OD=2cm.(2)在Rt△OAD中,OA=5cm,OD=3cm,(1110(3)設(shè)☉O的半徑為rcm,則OD=(r-2)cm,∵OC⊥AB,∴AD=AB=4cm,在Rt△OAD中,OA2=DO2+AD2,∴r2=(r-2)2+42,解得r=5,∴☉O的半徑為5cm.(3)設(shè)☉O的半徑為rcm,則OD=(r-2)cm,∵OC111第二十八章圓

28.5弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算第二十八章圓28.5弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算112學(xué)習(xí)新知

在田徑四百米比賽中，每位運(yùn)動(dòng)員的起跑位置相同嗎？每位運(yùn)動(dòng)員彎道的展直長(zhǎng)度相同嗎？學(xué)習(xí)新知在田徑四百米比賽中，每位運(yùn)動(dòng)員的起跑113一條弧和經(jīng)過這條弧端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.

ABOC在⊙O中，由半徑OA,OB和所構(gòu)成的圖形是扇形.在⊙O中，由半徑OA,OB和所構(gòu)成的圖形是扇形.在同圓或等圓中，由于相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所以具有相等圓心角的扇形，其面積也相等.一條弧和經(jīng)過這條弧端點(diǎn)的兩條ABOC在⊙O中，由半徑OA,O114弧長(zhǎng)和扇形面積公式思考并回答下列問題:1.圓的周長(zhǎng)可以看成是多少度的圓心角所對(duì)的弧?(360°)2.在圓中每一個(gè)1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)之間有什么關(guān)系?(相等)3.1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少?(周長(zhǎng)的)4.2°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)又是多少呢?(周長(zhǎng)的)弧長(zhǎng)和扇形面積公式思考并回答下列問題:1.圓的周長(zhǎng)可以看成是1155.你能算出n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少嗎?（周長(zhǎng)的）6.已知一段弧所在圓的半徑為r,圓心角度數(shù)為n°,如何計(jì)算這段弧的長(zhǎng)度?結(jié)論:在半徑為r的圓中,n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為:5.你能算出n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少嗎?（周長(zhǎng)的116探究扇形的面積在半徑為r的圓中,n°的圓心角所對(duì)的扇形面積為:S=比較扇形面積公式S=和弧長(zhǎng)公式你能用弧長(zhǎng)公式表示扇形的面積嗎？扇形的面積公式：(其中n為圓心角的度數(shù),r為圓的半徑,l為扇形的弧長(zhǎng)).探究扇形的面積在半徑為r的圓中,n°的圓心角所對(duì)的扇形面積為117(教材168頁(yè)例)如圖所示,☉O的半徑為10cm.(1)如果∠AOB=100°,求的長(zhǎng)及扇形AOB的面積.(結(jié)果保留一位小數(shù))(2)已知=25cm,求∠BOC的度數(shù).(結(jié)果精確到1°)(教材168頁(yè)例)如圖所示,☉O的半徑為10cm.(1)如118所以的長(zhǎng)約為17.4cm,扇形AOB的面積約為87.2cm2.解:(1)r=10cm,∠AOB=100°,由弧長(zhǎng)和扇形面積公式,得:所以的長(zhǎng)約為17.4cm,扇形AOB的面積約119(2)r=10cm,=25cm,由弧長(zhǎng)公式,得:所以∠BOC約為143°.(2)r=10cm,=25cm,由弧長(zhǎng)公120圓錐的概念及其側(cè)面積的計(jì)算自主學(xué)習(xí)教材第168頁(yè)圓錐的有關(guān)概念.【思考】1.什么是圓錐的母線、圓錐的高?2.圓錐的母線有幾條?圓錐的母線、高、半徑圍成什么圖形?3.將圓錐的側(cè)面展開,得到的平面圖形是什么?4.圓錐的側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)、半徑與圓錐的底面、母線長(zhǎng)有什么關(guān)系?5.若圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,你能求出圓錐的側(cè)面展開圖的面積嗎?圓錐的概念及其側(cè)面積的計(jì)算自主學(xué)習(xí)教材第168頁(yè)圓錐的有關(guān)概121我們把連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線．圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的．lABC側(cè)面底面母線我們把連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線．122

圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為______因此圓錐的側(cè)面積為________扇形的弧長(zhǎng)為________，

圓錐的全面積為________．

沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，容易得到，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形．lor扇形l圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底123做一做

已知扇形的圓心角為120°,弧長(zhǎng)為20πcm.如果用這個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐,那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積是多少?解:設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為lcm,由弧長(zhǎng)公式可得:，解得l=30.∴圓錐的側(cè)面積S=×20π×30=300π(cm2).做一做已知扇形的圓心角為120°,弧長(zhǎng)為20πc1242.在弧長(zhǎng)公式

中有三個(gè)量l,n,r,已知其中任意兩個(gè)量,可以求出第三個(gè)量.1.圓心角為1°的弧長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的,所以圓心角是n°的弧長(zhǎng)l=,其中n表示1°的圓心角的倍數(shù),不帶單位.[知識(shí)拓展]

2.在弧長(zhǎng)公式中有三個(gè)量l,n1253.圓錐看成是由一個(gè)直角三角形繞一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)而成的圖形,圓錐的母線長(zhǎng)a,高h(yuǎn),底面半徑r恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形,滿足r2+h2=a2,利用這一關(guān)系可以在已知任意兩個(gè)量的情況下求出第三個(gè)量.3.圓錐看成是由一個(gè)直角三角形繞一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)而成126檢測(cè)反饋1.已知一條弧的半徑為9,弧長(zhǎng)為8π,那么這條弧所對(duì)的圓心角為(

)

A.200° B.160°C.120° D.80°解析:∵弧長(zhǎng)的公式l=,∴

,解得n=160.故選B.B檢測(cè)反饋1.已知一條弧的半徑為9,弧長(zhǎng)為8π,那么這條弧所對(duì)1272.用半徑為30cm,圓心角為120°的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面,則圓錐的底面半徑為(

)A.10cm B.30cmC.45cm D.300cm解析:設(shè)此圓錐的底面半徑為r

cm,根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng),得2πr=,r=10.故選A.A2.用半徑為30cm,圓心角為120°的扇形圍成一個(gè)圓錐的128解析:S扇形===1.5π(cm2),由弧長(zhǎng)公式可得扇形的圓心角為

=60.3.已知扇形的半徑為3cm,扇形的弧長(zhǎng)為πcm,則該扇形的面積是

cm2(結(jié)果保留π),扇形的圓心角為

°.

601.5π解析:S扇形==1294.已知圓錐的母線長(zhǎng)為5cm,底面半徑為3cm,那么圓錐側(cè)面展開圖中,扇形的圓心角大小為

.

解析:根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng),得,解得n=216.故填216°.216°4.已知圓錐的母線長(zhǎng)為5cm,底面半徑為3cm,那么圓錐1305.如圖(1)所示,AB為☉O的直徑,CD⊥AB于點(diǎn)E,交☉O于點(diǎn)C,D,OF⊥AC于點(diǎn)F.(1)請(qǐng)寫出三條與BC有關(guān)的正確結(jié)論;(2)當(dāng)∠D=30°,BC=1時(shí),求圓中陰影部分的面積.5.如圖(1)所示,AB為☉O的直徑,CD⊥AB于點(diǎn)E,交☉131解:(1)答案不唯一.如:根據(jù)垂徑定理可以證明△CBE≌△DBE,得出BC=BD,和相等,所以△BCD是等腰三角形,∠BCD=∠A;由直徑所對(duì)的圓周角等于90°,可以得出△ABC是直角三角形,即BC⊥AC,進(jìn)而得出OF∥BC;根據(jù)CE⊥BE,由勾股定理可以得出BC2=CE2+BE2.(2)如圖(2)所示,連接CO,∠D=30°,根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等,得∠A=∠D,∴∠A=30°.∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∴AB=2BC=2,解:(1)答案不唯一.如:根據(jù)垂徑定理可以證明△CBE≌△D132∴陰影部分面積=S扇形AOC-S△AOC=.∴S扇形AOC=.在Rt△AFO中,OF=,根據(jù)勾股定理,得AF=,AC=2AF=,根據(jù)垂徑定理有AF=CF,∵CO=AO,OF=OF,∴△AOF≌△COF,∴∠COF=∠AOF=60°,∴∠AOC=120°,∵S△AOC=AC×OF=,∴陰影部分面積=S扇形AOC-S△AOC=133第二十八章圓28.1圓的概念及性質(zhì)第二十八章圓28.1圓的概念及性質(zhì)134學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．通過觀察實(shí)驗(yàn)操作，感受圓的定義，結(jié)合圖形認(rèn)

識(shí)弧，半圓，弦，直徑，等圓，等弧，優(yōu)弧，劣

弧等有關(guān)概念；

2．在具體情景中，通過探究、交流、反思等活動(dòng)獲

得圓的有關(guān)定義，體驗(yàn)探求規(guī)律的思想方法．學(xué)習(xí)重點(diǎn)：圓的有關(guān)概念．學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．通過觀察實(shí)驗(yàn)操作，感受圓的定義，結(jié)合圖形認(rèn)

135古代人最早是從太陽，陰歷十五的月亮得到圓的概念的．那么是什么人做出第一個(gè)圓的呢？18000年前的山頂洞人用一種尖狀的石器來鉆孔，一面鉆不透，再?gòu)牧硪幻驺@，石器的尖是圓心，它的寬度的一半就是半徑，這樣以同一個(gè)半徑和圓心一圈圈地轉(zhuǎn)，就可以鉆出一個(gè)圓的孔．到了陶器時(shí)代，許多陶器都是圓的，圓的陶器是將泥土放在一個(gè)轉(zhuǎn)盤上制成的．引入新知古代人最早是從太陽，陰歷十五的月亮得到圓的概念的．那么是136我國(guó)古代，半坡人就已經(jīng)會(huì)造圓形的房頂了．大約在同一時(shí)代，美索不達(dá)米亞人做出了世界上第一個(gè)輪子——圓的木輪．很早之前，人們將圓的木輪固定在木架上，這樣就成了最初的車子．2000多年前，墨子給出圓的定義“一中同長(zhǎng)也”，意思是說，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等．這個(gè)定義比古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下的定義要早很多年．引入新知我國(guó)古代，半坡人就已經(jīng)會(huì)造圓形的房頂了．大約在同一時(shí)代，137學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知138如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段

OA

繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)

O

旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)

A

所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)

O

叫做圓心；線段

OA

叫做半徑；以點(diǎn)

O

為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”．圓的概念·rOA學(xué)習(xí)新知如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)139同心圓

等圓圓心相同，半徑不同確定一個(gè)圓的兩個(gè)要素:一是圓心，二是半徑．半徑相同，圓心不同O學(xué)習(xí)新知同心圓等圓圓心相同，半徑不同確定一個(gè)圓的兩個(gè)要素:一是圓心140問題1：圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離有什么規(guī)律？問題2：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)又有什么特點(diǎn)？·rOA學(xué)習(xí)新知問題1：圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離有什么規(guī)律？·rOA141動(dòng)態(tài)：在一個(gè)平面內(nèi)，線段

OA

繞它固定的一個(gè)端

點(diǎn)

O

旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)

A

所形成的圖形叫做圓．靜態(tài)：圓心為

O、半徑為

r

的圓可以看成是所有到

定點(diǎn)

O

的距離等于定長(zhǎng)

r

的點(diǎn)的集合．學(xué)習(xí)新知?jiǎng)討B(tài)：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端

點(diǎn)O旋142經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖中的

AB．連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如圖中的AC．弦COAB與圓有關(guān)的概念經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖中的AB．連接圓上任意兩點(diǎn)的線段143圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱?。訟、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”．ABCOAB與圓有關(guān)的概念圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓144劣弧與優(yōu)弧小于半圓的?。ㄈ鐖D中的

）叫做劣?。瓵C大于半圓的弧（用三個(gè)字母表示，如圖中的

）叫做優(yōu)?。瓵BCCOAB與圓有關(guān)的概念劣弧與優(yōu)弧小于半圓的?。ㄈ鐖D中的）叫做劣?。瓵C大于半145在同圓或等圓中，能重合的弧叫等?。然∨c圓有關(guān)的概念在同圓或等圓中，能重合的弧叫等弧．等弧與圓有關(guān)的概念146由弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．弓形與圓有關(guān)的概念由弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．弓形與圓有關(guān)的概念147能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓，等圓的半徑相等.等圓與圓有關(guān)的概念能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓，等圓的半徑相等.等圓與圓有關(guān)的概念148證明：連接AC，DB.AB，CD為⊙O的直徑，OA=OB,OC=OD.四邊形ADBC為平行四邊形，AD//CB.應(yīng)用拓展例1已知：如圖，AB，CD為⊙O的直徑.求證：AD//CB.證明：連接AC，DB.應(yīng)用拓展例1已知：如圖，AB，CD149（）1．判斷下列說法的正誤：（1）弦是直徑；（2）半圓是??；（3）過圓心的線段是直徑；（5）圓心相同，半徑相等的兩個(gè)圓是同心圓；（4）半圓是最長(zhǎng)的??；（6）半徑相等的兩個(gè)半圓是等?。痢獭痢痢痢虘?yīng)用拓展（）（）（）（）（）（）1．判斷下列說法的正誤：（1）弦是直徑；（2）半150第二十八章圓28.2過三點(diǎn)的圓第二十八章圓28.2過三點(diǎn)的圓151車間工人要將一個(gè)如圖所示的破損的圓盤復(fù)原，你有辦法嗎？生活生產(chǎn)中的問題：車間工人要將一個(gè)如圖所示的破損的圓盤復(fù)原，你有辦法嗎？生活生152●A確定圓的條件類比確定直線的條件:經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線；經(jīng)過兩點(diǎn)只能作一條直線.●A●B●A確定圓的條件類比確定直線的條件:經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線153確定圓的條件

1.想一想,經(jīng)過一點(diǎn)可以作幾個(gè)圓?經(jīng)過兩點(diǎn),三點(diǎn),…,呢？

(1)作圓,使它過已知點(diǎn)A.你能作出幾個(gè)這樣的圓?●O●O●O●O●O●A(2)作圓,使它過已知點(diǎn)A,B.你能作出幾個(gè)這樣的圓?●O●O●B●A確定圓的條件

1.想一想,經(jīng)過一點(diǎn)可以作幾個(gè)圓?經(jīng)過兩點(diǎn),三1542.過已知點(diǎn)A,B作圓,可以作無數(shù)個(gè)圓.經(jīng)過兩點(diǎn)A,B的圓的圓心在線段AB的垂直平分線上.以線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)為圓心,這點(diǎn)到A或B的距離為半徑作圓.你準(zhǔn)備如何(確定圓心,半徑)作圓？其圓心的分布有什么特點(diǎn)?與線段AB有什么關(guān)系？●O●OO●A●B2.過已知點(diǎn)A,B作圓,可以作無數(shù)個(gè)圓.經(jīng)過兩點(diǎn)A,B的圓155ABC過如下三點(diǎn)能不能做圓?為什么?ABC過如下三點(diǎn)能不能做圓?為什么?1563.作圓,使它過已知點(diǎn)A,B,C(A,B,C三點(diǎn)不在同一條直線上),你能作出幾個(gè)這樣的圓?你準(zhǔn)備如何(確定圓心,半徑)作圓？其圓心