棗一-高二文-導數(shù)幾何意義

1、導數(shù)的幾何意義一、教學目標重點：理解和掌握切線的新定義、導數(shù)的幾何意義，體會數(shù)形結合、以直代曲的思想方法.難點：發(fā)現(xiàn)、理解及應用導數(shù)的幾何意義知識點：導數(shù)的幾何意義以及對曲線切線方程的求解.能力點：通過探究導數(shù)的幾何意義和曲線的切線方程的求法，體會“以直代曲”的數(shù)學思想方法和培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合思想解決問題的能力教育點：通過設計環(huán)環(huán)相扣的問題，引導學生主動地參與探究活動，體驗學習的樂趣，養(yǎng)學生良好的思維品質，激發(fā)他們的學習熱情.自主探究點：導數(shù)的幾何意義和“以直代曲”的數(shù)學思想方法.考試點：求曲線的切線方程 .易錯易混點：“以直代曲”的思想容易誤解的是用直線去代替某一段曲線.拓展點：當切點不在

2、曲線上求曲線的切線方程.二、復習引人前面我們學習了函數(shù)在x x0 處的導數(shù) f( x0 ) 就是函數(shù)在該點處的瞬時變化率 .問題 1： 求導數(shù) f (x0 ) 的步驟有哪幾步？學生回答：第一步：求平均變化率y fx0xf ( x0 )；xx第二步：求瞬時變化率f (x0 )limfx0xf ( x0 ) .x 0x（即x0 ，平均變化率趨近于的確定常數(shù)就是該點的導數(shù)）問題 2：觀察函數(shù) yf ( x) 的圖象，平均變化率yfx0x f ( x0 )在圖形中表示什么？xxf(x 2)yy=f(x)Pnf(x 2)-f(x 1)= yf(x 1)Px2-x1= xxOx2x1學生回答：平均變化率表

3、示割線PPn 的斜率 .這就是平均變化率（y ）的幾何意義，那么瞬時變化率( limy ) 在圖中又表示什么呢？xx 0x今天我們就來探究導數(shù)的幾何意義.【設計意圖】突破平均變化率的幾何意義，后面在表示割線斜率時能直接聯(lián)系此知識. 同時引出本節(jié)課的研究問題導數(shù)幾何意義是什么？三、探究新知1.切線的新定義：要研究導數(shù)的幾何意義，結合導數(shù)的概念，即要探究x0 ，割線的變化趨勢.問題 1：初中平面幾何中圓的切線的定義是什么？學生回答：直線和圓有唯一公共點時，直線叫做圓的切線，唯一公共點叫做切點問題 2：曲線在點 P 處的切線能用直線與切線的公共點個數(shù)來定義嗎？你能否用你已經學過的函數(shù)曲線的切線舉出反

4、例？回答：正弦函數(shù)的曲線與直線可能相切時有兩個公共點圓是一種特殊的曲線，這種定義并不適用于一般曲線的切線如圖曲線 C ，直線 l 3 雖然與曲線 C 有惟一公共點， 但它與曲線 C 不相切；而另一條直線 l 2 ，雖然與曲線 C 有兩個公共點B 和 C ，但與曲線 C 相切于點 B 因此，直線與曲線的公共點的個數(shù)不能用來定義一般曲線的切線，我們必須用新的方法來定義曲線的切線【設計意圖】概念的辨析有助于學生準確理解概念，避免了學習的負向遷移.通過普通曲線的切線與圓的切線對比，使學生認識到曲線的切線不能以直線與曲線的交點個數(shù)決定.由此提出：如何定義曲線上某點的切線呢？激發(fā)學生的求知欲望，進入本節(jié)課

5、重點內容的探索過程.用多媒體演示動畫（幾何畫板）（ 1）圓中割線逼近切線：圓上點 A 處的切線AT 和割線 AB，演示點B 從右邊沿著圓逼近點A , 然后再從左邊沿著圓逼近點 A ，即x0 ，割線 AB 的變化趨勢 .yBOxTA思考：觀察割線與切線是否有某種內在聯(lián)系呢？結論：（先感知后發(fā)現(xiàn)）當處的切線 AT.x0 ，隨著點B 沿著圓逼近點A，割線 AB 無限趨近于點A【設計意圖】 帶著問題觀察動畫，借助熟悉的圓中的某點處的割線和切線，學生更易感知當x0 ，割線的變化趨勢，同時用逼近的方法體會割線逼近切線，消除學生對極限的神秘感 .（ 2）把割線逼近切線的結論從圓推廣到一般曲線：多媒體動態(tài)演示

6、教材77 頁，當點Pn (xn , f ( xn ) (n1,2,3,4) 沿著曲線f ( x) 趨近點P( x0 , f ( x0 ) 時，割線 PPn 的變化趨勢圖 .yy=f(x)割P線1PT2P3切線PP4Ox引導學生類比 （ 1），分析當點Pn ( x0x, f ( x0x)沿著曲線f ( x) 趨近于點P( x0 , f (x0 )時，即x0，研究割線PPn 的變化趨勢.【設計說明】教師用多媒體動畫演示，學生觀察并討論.【設計意圖】 通過多媒體動畫的演示，探索一般曲線中的切線定義，感知和發(fā)現(xiàn)，得出：x0 ，割線趨于確定位置的直線定義為切線讓學生借助直觀的圖象.結論： 點 Pn 趨近

7、于點P 時，割線PPn 趨近于確定的位置PT，PT為曲線的切線.一般曲線的切線定義：當點Pn ( x0x, f (x0x)沿著曲線f (x)逼近點P(x0 , f ( x0 ) 時，即x0，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置上的直線PT 稱為點P 處的切線.了解“以直代曲”的思想引導學生觀察：在點P 的附近，PP2 比PP1 更接近曲線f (x)，PP3比PP2 更接近曲線f ( x) ，過點 P 的切線 PT 最貼近 P 附近的曲線f (x) 因此，在點 P 的附近，曲線 f (x)可以用過點P 的切線PT近似代替“以直代曲”的數(shù)學思想方法，是微積分學中的重要思想方法【設計意圖】通過動

8、畫演示，讓學生形象而逼真的直觀感知“以直代曲”思想.2. 導數(shù)的幾何意義：1. 已知曲線上兩點 P(x0 , f ( x0 ), Pn ( x0x, f ( x0x) ：思考 1：根據切線定義可知：x0 ，割線 PPn 趨近于切線 PT. 那么割線 PPn 的斜率 kn 與切線 PT的斜率 k 又有何關系？學生回答： 當 x0,則 knk,即 klim knx 0思考 2：對比“x0 時，平均變化率趨近的確定常數(shù)就是瞬時變化率”，又割線的斜率對應平均變化率，那么切線的斜率對應什么？學生回答：切線的斜率對應該點處的瞬時變化率，即該點處的導數(shù).【設計意圖】 通過兩個思考：（ 1）先解決割線斜率與切

9、線斜率的關系，（ 2）再對照平均變化率與瞬時變化率的關系，自然得出切線的斜率對應該點處的瞬時變化率即導數(shù)，增加了鋪墊問題為學生引導思路，便于學生較好地完成探索活動，主動獲得知識.2.結合上面的研究過程，你能指出導數(shù)f (x0 ) 的幾何意義嗎？函 數(shù) f ( x) 在 xx0 處 的 導 數(shù) 就 是 曲 線 在 該 點 處 的 切 線 斜 率 k ， 即 ：k limfx0xf ( x0 )f( x0 )xx0【設計意圖】 讓學生自主探究得出結論，有水到渠成的感覺，避免硬性拋出抽象概念, 同時培養(yǎng)學生的歸納概括能力 .四、理解新知1. 一般曲線切線的定義：（ 1）當點 Pn (x0x , f

10、( x0 x) 沿著曲線 f ( x) 逼近點 P( x0 , f ( x0 ) 時，即 x0 ，割線 PP n 趨近于確定的位置，這個確定位置上的直線PT 稱為點 P 處的切線 .（2）了解“以直代曲”的思想：某點附近一個很小的研究區(qū)域內， 曲線與切線的變化趨勢基本一致， 故可由曲線上某點處的切線近似代替這一點附近的曲線 .2.導數(shù)的幾何意義：（1）割線 PPn的斜率是： k PPf (xn )f ( x0 )nxnx0（2）導數(shù)的幾何意義 :函數(shù) f (x) 在 xx0 處的導數(shù)就是曲線在該點處的切線斜率k ，即：f x0xf ( x0 )f ( x0 )k limxx 0【設計意圖】 梳

11、理本節(jié)課重點知識，強化記憶，為準確地運用新知，作必要的鋪墊.五、運用新知例 1如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)( )4.926.510的圖象 .h ttt（1）用圖形體現(xiàn) h (1)3.3， h (0.5)1.6 的幾何意義 .（2）導數(shù)值的正負，反應該點附近的曲線有何變化趨勢？（3）請描述、比較曲線h(t) 在 t0 , t1 , t 2 附近增（減）以及增（減）快慢的情況.在 t 3 , t 4 附近呢？(1)hO0.51.0(2)hl0l1tOl2tt3 t4 t0t 1t2分析： 函數(shù)在該點處的瞬時變化率，也就是導數(shù)， 由導數(shù)的幾何意義可知，作出過該點的切線，可借助切線的變化

12、趨勢得到導數(shù)的情況，從而得到曲線的變化情況.解：（1） h (1)3.3 表示 t1時，曲線在該點切線的斜率，即：k3.3 ； h (0.5)1.6表示 t0.5 時，曲線在該點切線的斜率，即：k1.6 （學生完成畫線）【設計意圖】 由具體的導數(shù)入手， 熟悉導數(shù)的幾何意義， 幫助學生感知導數(shù)與函數(shù)單調性之間的聯(lián)系 .（ 2）導數(shù)值為正，則曲線在該點處得切線的斜率為正，曲線在該點附近單調遞增，導數(shù)值為負，則曲線在該點處得切線的斜率為負，曲線在該點附近單調遞減.【設計意圖】引導學生感知導數(shù)反映變化率的本質.(3) 作出曲線在這些點處的切線，在 t0 處切線平行于x 軸，即 h (t0 )0 ，說明

13、在 t0 時刻附近 變 化 率 為0 ， 函 數(shù) 幾 乎 沒 有 增 減 ； 在 t1 , t2 作 出 切 線 ， 切 線 呈 下 降 趨 勢 ， 即h (t1 )0, h (t2 )0 ，函數(shù)在點附近單調遞減；直線l1 的傾斜程度小于直線l2 的傾斜程度，這說明曲線曲線h(t) 在 t1 附近比在t 2 附近下降得緩慢【設計意圖】 將本例設計多問，降低了臺階分解了難度，使學生更好的理解掌握.問題：如何用導數(shù)研究函數(shù)的增減？結論： 根據導數(shù)的幾何意義，當某點處導數(shù)大于零時，說明在這點的附近曲線是上升的，即函數(shù)在這點附近是單調遞增；當某點處導數(shù)小于零時，說明在這點的附近曲線是下降的，即函數(shù)在這

14、點附近是單調遞減；當某點處導數(shù)等于零時，說明在該點的附近變化率為0，函數(shù)幾乎沒有增減 .【設計意圖】 引領學生對問題進行定性分析，在某點處由切線的 “走向” 分析曲線的 “走向” ，滲透“以直代曲”的數(shù)學思想變式練習： 函數(shù) y3x2 上有一點 (x0 , y0 ) ，求該點處的導數(shù) f ' x0，并由此解釋函數(shù)的增減情況 .解： f ( x0 )lim f (x0x) f (x0 )x0xlim3( x0x)2(3x02)3x 0x函數(shù)在定義域上任意點處的瞬時變化率都是3，函數(shù)在定義域內單調遞增.( 此時任意點處的切線就是直線本身，斜率就是變化率)【設計意圖】 復習導數(shù)的求法， 加深

15、學生對導數(shù)研究函數(shù)增減情況應用的認識，也是例題結論的進一步驗證 .例 2. 求 yx 2 在點 A(1,1) 處的切線方程 .解：f / (1)limylimf (1x)f (1)x 0xx 0xlim(1x) 212lim( x) 22 xlim (x2) 2x 0xx 0xx 0即切線的斜率 k2 ，所以， y x2 在點 A(1,1)處的切線方程為 y12( x1)即 2xy10 .【師生活動】總結在曲線上某點切線方程的求解步驟（學生歸納總結，教師演示）（ 1）求出曲線在點 P 處的導數(shù)即切線的斜率；（ 2）利用點斜式求切線方程 .練習：已知曲線yx21 上一點橫坐標為 -1 ，求曲線在

16、這點的切線方程.學生板演，師生共同點評.【設計意圖】通過學生獨立應用導數(shù)意義求在某點的曲線的切線方程，培養(yǎng)學生主動探索，解決問題的能力，并且加深學生對導數(shù)幾何意義的理解，熟練掌握幾何意義的應用.六、課堂小結這節(jié)課我們學習了哪些知識和方法？學生進行開放式小結： （回顧學習的兩個知識和數(shù)學思想方法）1.切線的定義：當點Pn x0x, f ( x0x) 沿著曲線 f (x) 逼近點 P x0 , f ( x0 ) 時，即x 0 ，割線 PPn 趨近于確定的位置，這個確定位置上的直線PT 稱為點 P 處的切線 .2. 函數(shù) f (x) 在 xx0 處的導數(shù)f (x0 ) 的幾何意義就是函數(shù)f (x)

17、的圖象在 xx0 處的切線的斜率 . 即： kf x0xf ( x0)limxf ( x0 )x 0導數(shù)反映了函數(shù)的變化率，從圖形上來看，表現(xiàn)為切線的斜率，如果導數(shù)為正，則切線的斜率為正，切線呈上升趨勢，曲線在該點附近也是上升趨勢，函數(shù)單調增；如果導數(shù)為負，則切線的斜率為負，切線呈現(xiàn)為下降趨勢，曲線在該點附近也是下降趨勢，函數(shù)單調減.數(shù)學思想方法：體會“數(shù)形結合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法.【設計意圖】通過師生共同反思，優(yōu)化學生的認知結構.七、布置作業(yè)必做題：課本79 頁 A 組 1,2,5選做題： B 組 1,2,3八、教后反思：本節(jié)課的亮點：1.多媒體課件動畫演示較好，使抽象的概念變得在圖形的直觀演示下，容易理解；2.知識得來讓學生探究得出，在教學的過程中加強了對學生觀察能力，獨立