棗一-高二文-導(dǎo)數(shù)幾何意義

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義一、教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：理解和掌握切線的新定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、以直代曲的思想方法.難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)、理解及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及對(duì)曲線切線方程的求解.能力點(diǎn)：通過探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義和曲線的切線方程的求法，體會(huì)“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法和培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力教育點(diǎn)：通過設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣的問題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地參與探究活動(dòng)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣，養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情.自主探究點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義和“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法.考試點(diǎn)：求曲線的切線方程 .易錯(cuò)易混點(diǎn)：“以直代曲”的思想容易誤解的是用直線去代替某一段曲線.拓展點(diǎn)：當(dāng)切點(diǎn)不在

2、曲線上求曲線的切線方程.二、復(fù)習(xí)引人前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)在x x0 處的導(dǎo)數(shù) f( x0 ) 就是函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率 .問題 1： 求導(dǎo)數(shù) f (x0 ) 的步驟有哪幾步？學(xué)生回答：第一步：求平均變化率y fx0xf ( x0 )；xx第二步：求瞬時(shí)變化率f (x0 )limfx0xf ( x0 ) .x 0x（即x0 ，平均變化率趨近于的確定常數(shù)就是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)）問題 2：觀察函數(shù) yf ( x) 的圖象，平均變化率yfx0x f ( x0 )在圖形中表示什么？xxf(x 2)yy=f(x)Pnf(x 2)-f(x 1)= yf(x 1)Px2-x1= xxOx2x1學(xué)生回答：平均變化率表

3、示割線PPn 的斜率 .這就是平均變化率（y ）的幾何意義，那么瞬時(shí)變化率( limy ) 在圖中又表示什么呢？xx 0x今天我們就來探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【設(shè)計(jì)意圖】突破平均變化率的幾何意義，后面在表示割線斜率時(shí)能直接聯(lián)系此知識(shí). 同時(shí)引出本節(jié)課的研究問題導(dǎo)數(shù)幾何意義是什么？三、探究新知1.切線的新定義：要研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念，即要探究x0 ，割線的變化趨勢(shì).問題 1：初中平面幾何中圓的切線的定義是什么？學(xué)生回答：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做圓的切線，唯一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)問題 2：曲線在點(diǎn) P 處的切線能用直線與切線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)來定義嗎？你能否用你已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)曲線的切線舉出反

4、例？回答：正弦函數(shù)的曲線與直線可能相切時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)圓是一種特殊的曲線，這種定義并不適用于一般曲線的切線如圖曲線 C ，直線 l 3 雖然與曲線 C 有惟一公共點(diǎn)， 但它與曲線 C 不相切；而另一條直線 l 2 ，雖然與曲線 C 有兩個(gè)公共點(diǎn)B 和 C ，但與曲線 C 相切于點(diǎn) B 因此，直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不能用來定義一般曲線的切線，我們必須用新的方法來定義曲線的切線【設(shè)計(jì)意圖】概念的辨析有助于學(xué)生準(zhǔn)確理解概念，避免了學(xué)習(xí)的負(fù)向遷移.通過普通曲線的切線與圓的切線對(duì)比，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到曲線的切線不能以直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定.由此提出：如何定義曲線上某點(diǎn)的切線呢？激發(fā)學(xué)生的求知欲望，進(jìn)入本節(jié)課

5、重點(diǎn)內(nèi)容的探索過程.用多媒體演示動(dòng)畫（幾何畫板）（ 1）圓中割線逼近切線：圓上點(diǎn) A 處的切線AT 和割線 AB，演示點(diǎn)B 從右邊沿著圓逼近點(diǎn)A , 然后再從左邊沿著圓逼近點(diǎn) A ，即x0 ，割線 AB 的變化趨勢(shì) .yBOxTA思考：觀察割線與切線是否有某種內(nèi)在聯(lián)系呢？結(jié)論：（先感知后發(fā)現(xiàn)）當(dāng)處的切線 AT.x0 ，隨著點(diǎn)B 沿著圓逼近點(diǎn)A，割線 AB 無限趨近于點(diǎn)A【設(shè)計(jì)意圖】 帶著問題觀察動(dòng)畫，借助熟悉的圓中的某點(diǎn)處的割線和切線，學(xué)生更易感知當(dāng)x0 ，割線的變化趨勢(shì)，同時(shí)用逼近的方法體會(huì)割線逼近切線，消除學(xué)生對(duì)極限的神秘感 .（ 2）把割線逼近切線的結(jié)論從圓推廣到一般曲線：多媒體動(dòng)態(tài)演示

6、教材77 頁，當(dāng)點(diǎn)Pn (xn , f ( xn ) (n1,2,3,4) 沿著曲線f ( x) 趨近點(diǎn)P( x0 , f ( x0 ) 時(shí)，割線 PPn 的變化趨勢(shì)圖 .yy=f(x)割P線1PT2P3切線PP4Ox引導(dǎo)學(xué)生類比 （ 1），分析當(dāng)點(diǎn)Pn ( x0x, f ( x0x)沿著曲線f ( x) 趨近于點(diǎn)P( x0 , f (x0 )時(shí)，即x0，研究割線PPn 的變化趨勢(shì).【設(shè)計(jì)說明】教師用多媒體動(dòng)畫演示，學(xué)生觀察并討論.【設(shè)計(jì)意圖】 通過多媒體動(dòng)畫的演示，探索一般曲線中的切線定義，感知和發(fā)現(xiàn)，得出：x0 ，割線趨于確定位置的直線定義為切線讓學(xué)生借助直觀的圖象.結(jié)論： 點(diǎn) Pn 趨近

7、于點(diǎn)P 時(shí)，割線PPn 趨近于確定的位置PT，PT為曲線的切線.一般曲線的切線定義：當(dāng)點(diǎn)Pn ( x0x, f (x0x)沿著曲線f (x)逼近點(diǎn)P(x0 , f ( x0 ) 時(shí)，即x0，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置上的直線PT 稱為點(diǎn)P 處的切線.了解“以直代曲”的思想引導(dǎo)學(xué)生觀察：在點(diǎn)P 的附近，PP2 比PP1 更接近曲線f (x)，PP3比PP2 更接近曲線f ( x) ，過點(diǎn) P 的切線 PT 最貼近 P 附近的曲線f (x) 因此，在點(diǎn) P 的附近，曲線 f (x)可以用過點(diǎn)P 的切線PT近似代替“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法，是微積分學(xué)中的重要思想方法【設(shè)計(jì)意圖】通過動(dòng)

8、畫演示，讓學(xué)生形象而逼真的直觀感知“以直代曲”思想.2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：1. 已知曲線上兩點(diǎn) P(x0 , f ( x0 ), Pn ( x0x, f ( x0x) ：思考 1：根據(jù)切線定義可知：x0 ，割線 PPn 趨近于切線 PT. 那么割線 PPn 的斜率 kn 與切線 PT的斜率 k 又有何關(guān)系？學(xué)生回答： 當(dāng) x0,則 knk,即 klim knx 0思考 2：對(duì)比“x0 時(shí)，平均變化率趨近的確定常數(shù)就是瞬時(shí)變化率”，又割線的斜率對(duì)應(yīng)平均變化率，那么切線的斜率對(duì)應(yīng)什么？學(xué)生回答：切線的斜率對(duì)應(yīng)該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，即該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】 通過兩個(gè)思考：（ 1）先解決割線斜率與切

9、線斜率的關(guān)系，（ 2）再對(duì)照平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)系，自然得出切線的斜率對(duì)應(yīng)該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率即導(dǎo)數(shù)，增加了鋪墊問題為學(xué)生引導(dǎo)思路，便于學(xué)生較好地完成探索活動(dòng)，主動(dòng)獲得知識(shí).2.結(jié)合上面的研究過程，你能指出導(dǎo)數(shù)f (x0 ) 的幾何意義嗎？函 數(shù) f ( x) 在 xx0 處 的 導(dǎo) 數(shù) 就 是 曲 線 在 該 點(diǎn) 處 的 切 線 斜 率 k ， 即 ：k limfx0xf ( x0 )f( x0 )xx0【設(shè)計(jì)意圖】 讓學(xué)生自主探究得出結(jié)論，有水到渠成的感覺，避免硬性拋出抽象概念, 同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力 .四、理解新知1. 一般曲線切線的定義：（ 1）當(dāng)點(diǎn) Pn (x0x , f

10、( x0 x) 沿著曲線 f ( x) 逼近點(diǎn) P( x0 , f ( x0 ) 時(shí)，即 x0 ，割線 PP n 趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置上的直線PT 稱為點(diǎn) P 處的切線 .（2）了解“以直代曲”的思想：某點(diǎn)附近一個(gè)很小的研究區(qū)域內(nèi)， 曲線與切線的變化趨勢(shì)基本一致， 故可由曲線上某點(diǎn)處的切線近似代替這一點(diǎn)附近的曲線 .2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：（1）割線 PPn的斜率是： k PPf (xn )f ( x0 )nxnx0（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義 :函數(shù) f (x) 在 xx0 處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處的切線斜率k ，即：f x0xf ( x0 )f ( x0 )k limxx 0【設(shè)計(jì)意圖】 梳

11、理本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)，強(qiáng)化記憶，為準(zhǔn)確地運(yùn)用新知，作必要的鋪墊.五、運(yùn)用新知例 1如圖，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)( )4.926.510的圖象 .h ttt（1）用圖形體現(xiàn) h (1)3.3， h (0.5)1.6 的幾何意義 .（2）導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，反應(yīng)該點(diǎn)附近的曲線有何變化趨勢(shì)？（3）請(qǐng)描述、比較曲線h(t) 在 t0 , t1 , t 2 附近增（減）以及增（減）快慢的情況.在 t 3 , t 4 附近呢？(1)hO0.51.0(2)hl0l1tOl2tt3 t4 t0t 1t2分析： 函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，也就是導(dǎo)數(shù)， 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，作出過該點(diǎn)的切線，可借助切線的變化

12、趨勢(shì)得到導(dǎo)數(shù)的情況，從而得到曲線的變化情況.解：（1） h (1)3.3 表示 t1時(shí)，曲線在該點(diǎn)切線的斜率，即：k3.3 ； h (0.5)1.6表示 t0.5 時(shí)，曲線在該點(diǎn)切線的斜率，即：k1.6 （學(xué)生完成畫線）【設(shè)計(jì)意圖】 由具體的導(dǎo)數(shù)入手， 熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義， 幫助學(xué)生感知導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系 .（ 2）導(dǎo)數(shù)值為正，則曲線在該點(diǎn)處得切線的斜率為正，曲線在該點(diǎn)附近單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)值為負(fù)，則曲線在該點(diǎn)處得切線的斜率為負(fù)，曲線在該點(diǎn)附近單調(diào)遞減.【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生感知導(dǎo)數(shù)反映變化率的本質(zhì).(3) 作出曲線在這些點(diǎn)處的切線，在 t0 處切線平行于x 軸，即 h (t0 )0 ，說明

13、在 t0 時(shí)刻附近 變 化 率 為0 ， 函 數(shù) 幾 乎 沒 有 增 減 ； 在 t1 , t2 作 出 切 線 ， 切 線 呈 下 降 趨 勢(shì) ， 即h (t1 )0, h (t2 )0 ，函數(shù)在點(diǎn)附近單調(diào)遞減；直線l1 的傾斜程度小于直線l2 的傾斜程度，這說明曲線曲線h(t) 在 t1 附近比在t 2 附近下降得緩慢【設(shè)計(jì)意圖】 將本例設(shè)計(jì)多問，降低了臺(tái)階分解了難度，使學(xué)生更好的理解掌握.問題：如何用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減？結(jié)論： 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，說明在這點(diǎn)的附近曲線是上升的，即函數(shù)在這點(diǎn)附近是單調(diào)遞增；當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，說明在這點(diǎn)的附近曲線是下降的，即函數(shù)在這

14、點(diǎn)附近是單調(diào)遞減；當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，說明在該點(diǎn)的附近變化率為0，函數(shù)幾乎沒有增減 .【設(shè)計(jì)意圖】 引領(lǐng)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行定性分析，在某點(diǎn)處由切線的 “走向” 分析曲線的 “走向” ，滲透“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想變式練習(xí)： 函數(shù) y3x2 上有一點(diǎn) (x0 , y0 ) ，求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) f ' x0，并由此解釋函數(shù)的增減情況 .解： f ( x0 )lim f (x0x) f (x0 )x0xlim3( x0x)2(3x02)3x 0x函數(shù)在定義域上任意點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率都是3，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.( 此時(shí)任意點(diǎn)處的切線就是直線本身，斜率就是變化率)【設(shè)計(jì)意圖】 復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的求法， 加深

15、學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減情況應(yīng)用的認(rèn)識(shí)，也是例題結(jié)論的進(jìn)一步驗(yàn)證 .例 2. 求 yx 2 在點(diǎn) A(1,1) 處的切線方程 .解：f / (1)limylimf (1x)f (1)x 0xx 0xlim(1x) 212lim( x) 22 xlim (x2) 2x 0xx 0xx 0即切線的斜率 k2 ，所以， y x2 在點(diǎn) A(1,1)處的切線方程為 y12( x1)即 2xy10 .【師生活動(dòng)】總結(jié)在曲線上某點(diǎn)切線方程的求解步驟（學(xué)生歸納總結(jié)，教師演示）（ 1）求出曲線在點(diǎn) P 處的導(dǎo)數(shù)即切線的斜率；（ 2）利用點(diǎn)斜式求切線方程 .練習(xí)：已知曲線yx21 上一點(diǎn)橫坐標(biāo)為 -1 ，求曲線在

16、這點(diǎn)的切線方程.學(xué)生板演，師生共同點(diǎn)評(píng).【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生獨(dú)立應(yīng)用導(dǎo)數(shù)意義求在某點(diǎn)的曲線的切線方程，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索，解決問題的能力，并且加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解，熟練掌握幾何意義的應(yīng)用.六、課堂小結(jié)這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)和方法？學(xué)生進(jìn)行開放式小結(jié)： （回顧學(xué)習(xí)的兩個(gè)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法）1.切線的定義：當(dāng)點(diǎn)Pn x0x, f ( x0x) 沿著曲線 f (x) 逼近點(diǎn) P x0 , f ( x0 ) 時(shí)，即x 0 ，割線 PPn 趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置上的直線PT 稱為點(diǎn) P 處的切線 .2. 函數(shù) f (x) 在 xx0 處的導(dǎo)數(shù)f (x0 ) 的幾何意義就是函數(shù)f (x)

17、的圖象在 xx0 處的切線的斜率 . 即： kf x0xf ( x0)limxf ( x0 )x 0導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)的變化率，從圖形上來看，表現(xiàn)為切線的斜率，如果導(dǎo)數(shù)為正，則切線的斜率為正，切線呈上升趨勢(shì)，曲線在該點(diǎn)附近也是上升趨勢(shì)，函數(shù)單調(diào)增；如果導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則切線的斜率為負(fù)，切線呈現(xiàn)為下降趨勢(shì)，曲線在該點(diǎn)附近也是下降趨勢(shì)，函數(shù)單調(diào)減.數(shù)學(xué)思想方法：體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法.【設(shè)計(jì)意圖】通過師生共同反思，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).七、布置作業(yè)必做題：課本79 頁 A 組 1,2,5選做題： B 組 1,2,3八、教后反思：本節(jié)課的亮點(diǎn)：1.多媒體課件動(dòng)畫演示較好，使抽象的概念變得在圖形的直觀演示下，容易理解；2.知識(shí)得來讓學(xué)生探究得出，在教學(xué)的過程中加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生觀察能力，獨(dú)立