二、數(shù)列的有關概念

1、二、數(shù)列的有關概念二、數(shù)列的有關概念四、收斂數(shù)列的性質四、收斂數(shù)列的性質五、小結五、小結 思考題思考題三、數(shù)列極限的定義三、數(shù)列極限的定義第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、引例一、引例“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1. 1. 割圓術：割圓術：播放播放劉徽劉徽一、引例R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS2. 2. 截丈問題：截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;21

2、1 X第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;212122 X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnXn 天截下的杖長總和為天截下的杖長總和為第第nnX211 1二、數(shù)列(sequence)的有關概念例如例如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一可看作一動點在數(shù)軸上依次取動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標函數(shù)數(shù)列是整標函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,

3、333,33, 3 2. 有界性有界性例如例如,1 nnxn數(shù)列數(shù)列nnx2 數(shù)列數(shù)列數(shù)數(shù)軸軸上上對對應應于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點點nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界；有界；無界無界，都滿足都滿足，對一切，對一切若存在實數(shù)若存在實數(shù)AxnAn ,為下有界為下有界稱稱nx；的下界的下界是是nxA同樣同樣,，都滿足都滿足，對一切，對一切若存在若存在BxnBn ,為上有界為上有界稱稱nx的上界的上界是是nxA3. 單調單調性性,21nnxxxx 若若滿滿足足數(shù)數(shù)列列nx稱數(shù)列稱數(shù)列為單調增數(shù)列；為單調增數(shù)列；,21nxxx 若若滿滿足足為為則則稱稱數(shù)數(shù)列列nx單調減數(shù)列單調減數(shù)列單調增

4、數(shù)列和單調減數(shù)列統(tǒng)稱為單調數(shù)單調增數(shù)列和單調減數(shù)列統(tǒng)稱為單調數(shù)列列4. 子數(shù)列子數(shù)列 (subsequence) 列，簡稱子列列，簡稱子列的子數(shù)的子數(shù)新數(shù)列稱為新數(shù)列稱為取其中無窮多項構成的取其中無窮多項構成的，任，任在保持原有順序情況下在保持原有順序情況下定義：將數(shù)列定義：將數(shù)列nnxx,21nixxxx,21knnnxxx .knxxxkxxkknnnnkkk 項項，顯顯然然，中中卻卻是是第第在在原原數(shù)數(shù)列列而而項項，是是第第中中，一一般般項項在在子子數(shù)數(shù)列列注意：注意：例如，例如，.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn播放播放三、數(shù)列極限的定義(Limit of

5、 a sequence)問題問題: 當當 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當nxnnn 問題問題: “無限接近無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學語言如何用數(shù)學語言刻畫它刻畫它. 1nxnnn11)1(1 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只只要要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時

6、只要只要 n,100011 nx有有, 0 給定給定,)1(時時只要只要 Nn.1成立成立有有 nx如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有有關關與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) Nx1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內內都落在都落在所有的點所有的點時時當當NaaxNnn :定義定義N 其中其中;:每每一一個個或或任任給給的的 .:至少有一個或存在至少有一個或存在 .,0,0lim

7、 axNnNaxnnn恒恒有有時時使使數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以, 11 N取取,時時則則當當Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxCCxnnn 證明證明為常數(shù)為常數(shù)設設證證Cxn CC ,成成立立 ,0 任給任給所以所以,0 .limCxnn 說明說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結小結: 用定義證數(shù)列極限存在時用定義證數(shù)列

8、極限存在時,關鍵是任意給關鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 n對于一切正整數(shù)對于一切正整數(shù)例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任任給給,0 nnqx,lnln qn,lnln為自然數(shù)為自然數(shù)取取qN ,時時則當則當Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 例例4.lim,0lim,0axaxxnnnnn 求求證證且且設設證證, 01 任任給給.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn時恒有時恒有使得當使得當axaxaxnnn 從而有從

9、而有aaxn a1 四、收斂數(shù)列的性質性質性質1（極限的極限的唯一唯一性性）收斂數(shù)列的極限必唯一收斂數(shù)列的極限必唯一. .證證babxaxnnnn 且且又又設設,lim,lim由定義由定義,使得使得, 021NN ;21 axNnn時恒有時恒有當當;22 bxNnn時恒有時恒有當當 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn )()(axbxbann axbxnn .222ab ，這這是是不不可可能能的的故收斂數(shù)列不可能有兩個極限故收斂數(shù)列不可能有兩個極限.2ab 且且令令例例5.)1(1是發(fā)散的是發(fā)散的證明數(shù)列證明數(shù)列 nnx證證,limaxnn 設設由定義由定義,21 對于對于,21,成

10、成立立有有時時使使得得當當則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即當即當區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.,1, 1兩兩個個數(shù)數(shù)無無休休止止地地反反復復取取而而 nx不可能同時位于不可能同時位于長度為長度為1的區(qū)間內的區(qū)間內., ,但但卻卻發(fā)發(fā)散散是是有有界界的的事事實實上上nx收斂數(shù)列必為有界數(shù)列收斂數(shù)列必為有界數(shù)列. .證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時恒有時恒有使得當使得當則則. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對一切自然數(shù)則對一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件

11、有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .性質性質2（有界性有界性）).0(0, nnaaNnN或或時時當當則則存存在在正正整整數(shù)數(shù)).0(0,lim)0(0 aaaxxxnnnn或或則則且且或或若若推論推論性質性質3（保號保號性性）),0(0,lim aaaxnn或或且且若若證證, 0 a設設,2a 取取時時有有使使得得當當則則NnN ,.2320axan 即有即有這個定理表明這個定理表明 若數(shù)列的極限為正（或負），則若數(shù)列的極限為正（或負），則該數(shù)列從某一項開始以后所有項也為正（或負）該數(shù)列從某一項開始以后所有項也為正（或負）. .,2aaxn 性質性質4

12、（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關系收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關系），那那么么它它的的任任一一子子數(shù)數(shù)列列收收斂斂于于如如果果數(shù)數(shù)列列axn.a，且極限也是，且極限也是也收斂也收斂這個定理表明這個定理表明 若數(shù)列有兩個不同的子數(shù)列收斂于若數(shù)列有兩個不同的子數(shù)列收斂于不同的極限，則該數(shù)列是發(fā)散的不同的極限，則該數(shù)列是發(fā)散的. .五、小結 思考題數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義極限思想、精確定義、幾何意義;收斂數(shù)列的性質收斂數(shù)列的性質: :唯一性、有界性、保號性、子數(shù)列的收斂性唯一性、有界性、保號性、子數(shù)列的收斂性.思考題思考題指出下列證明指出下列

13、證明1lim nnn中的錯誤中的錯誤 證明證明要使要使,1 nn只要使只要使)1ln(ln1 nn從而由從而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N當當 時，必有時，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思考題解答思考題解答 1nn)1ln(ln1 nn（等價）（等價）證明中所采用的證明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn實際上就是不等式實際上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即證明中沒有采用即證明中沒有采用“適當放大適當放大” 的值的值nnln從而從而 時，時，2ln)1ln( Nn僅有僅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但

14、不是 的充分條件的充分條件)1ln(ln nn反而縮小為反而縮小為n2ln練練 習習 題題1. 1. 割圓術：割圓術：“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入1. 1. 割圓術：割圓術：“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1

15、. 1. 割圓術：割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1. 1. 割圓術：割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1. 1. 割圓術：割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1. 1. 割圓術：割圓術：劉徽劉徽一、概念

16、的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1. 1. 割圓術：割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1. 1. 割圓術：割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1. 1. 割圓術：割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn 三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變