九年級數(shù)學上冊一元二次方程一元二次方程知識點總結及典型習題無答案新版蘇科版

1、一元二次方程、本章知識結構框圖二、具體內容(一)、一元二次方程的概念1 .理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個數(shù)為1,未知數(shù)的最高次數(shù)為2,整式方程，可化為一般形式；2 .正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù)2(1)明確只有當二次項系數(shù)a#0時，整式萬程ax+bx+c=0才是一元二次方程。(2)各項的確定(包括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù)).(3)熟練整理方程的過程3 .一元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解4 .列出實際問題的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法1 .明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉化為一元一次方

2、程求解；2 .根據(jù)方程系數(shù)的特點，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3 .體會不同解法的相互的聯(lián)系；4 .值得注意的幾個問題：22(1)開平萬法：對于形如x=n或(ax+b)=n(a#0)的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負數(shù)，可用開平方法求解形如x2=n的方程的解法：當n>0時，x=土布；當n=0時，x1=X2=0;當n<0時，方程無實數(shù)根。(2)配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉化為(x+m)2=門的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟：移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，

3、常數(shù)項移到方程的右邊；“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質把二次項的系數(shù)化為1；配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為(x+m)2=n的形式；求解：若n之0時，方程的解為x=-m±JH,若n<0時，方程無實數(shù)解。(3)公式法:元二次方程2ax+bx+c=0(a=0)的根x=-b二b2-4ac2a當b2-4ac>0時，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根不相等；2b當b-4ac=0時，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根相等，寫為X=x2=2a當b2-4ac<0時，方程無實數(shù)根.公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定a,b,c的值；代入b2-4ac中計算

4、其值，判斷方程是否有實數(shù)根；若b2-4ac之0代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。(因為這樣可以減少計算量。另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。)(4)因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0,那么這兩個因式至少有一個為0,即:若ab=0,則a=0或b=0；因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得到兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。(5)選用適當方法解一元二次方程對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方

5、法可能要簡便的多，只不過應注意二次根式的化簡問題。方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。(6)解含有字母系數(shù)的方程(1)含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；(2)對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不要忘記對字母的取值進行討論。(三)、根的判別式1.了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。1 1)A=b2_4ac(2)根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)一'a"

6、;0當j。方程有實數(shù)根；/0時a#0u方程有兩個不相等的實數(shù)根；當>8寸'a#0u方程有兩個相等的實數(shù)根；)=0時'a#0方程無實數(shù)根;從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2 .常見的問題類型(1)利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況(2)已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍(3)應用判別式，證明一元二次方程根的情況先計算出判別式(關鍵步驟)；用配方法將判別式恒等變形；判斷判別式的符號；總結出結論.例：求證：方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0無實數(shù)根。(4)分類討論思想的應用：如果方程給出的時未指明

7、是二次方程，后面也未指明兩個根，那一定要對方程進行分類討論，如果二次系數(shù)為0,方程有可能是一元一次方程；如果二次項系數(shù)不為0,一元二次方程可能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根。(5) 一元二次方程根的判別式常結合三角形、四邊形、不等式(組)等知識綜合命題，解答時要在全面分析的前提下，注意合理運用代數(shù)式的變形技巧(6) 一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合(7) 判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題(四)、一元二次方程的應用1 .數(shù)字問題：解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。2 .幾何問題：這類問題要結合幾何圖形的性質、特征、定理或法則來尋找等量關系，構建方程，對結果要

8、結合幾何知識檢驗。3 .增長率問題（下降率）：在此類問題中，一般有變化前的基數(shù)（a）,增長率（x）,變化的次數(shù)（n）,變化后的基數(shù)（b）,這四者之間的關系可以用公式a（1+x）n=b表示。4 .其它實際問題（都要注意檢驗解的實際意義，若不符合實際意義，則舍去）。（五）新題型與代幾綜合題（1）有100米長的籬笆材料，想圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600平方米，在場地的北面有一堵50米的舊墻，有人用這個籬笆圍成一個長40米、寬10米的倉庫，但面積只有400平方米，不合要求，問應如何設計矩形的長與寬才能符合要求呢？（2）讀詩詞解題（列出方程，并估算出周瑜去世時的年齡）：大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人

9、物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位學子算得準，多少年華屬周瑜？（36歲）已知：a,b,c分別是AABC的三邊長，當m>0時，關于x的一元二次方程c（x2+m）+b（x2-m）-2<max=0有兩個相等的實數(shù)根，求證：&ABC是直角三角形。（4）已知：a,b,c分別是AABC的三邊長，求證：方程b2x2+（b2+c2a2）x+c2=0沒有實數(shù)根。（5）當m是什么整數(shù)時，關于x的一元二次方程mx24x+4=0與x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整數(shù)？（m=1）(6)已知關于x的方程x2+2x+2m-1=。，其中m為實數(shù)，(1)當m為

10、何值時，方程沒有實x2x-2m數(shù)根？(2)當m為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根？求出這三個實數(shù)根。答案：(1)m<-2(2)x=-1,-1±<2.(六)相關練習(一)一元二次方程的概念1.一元二次方程的項與各項系數(shù)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項，一次項，常數(shù)項：(1)5x2_2=3x(5x2,-3x,-2)(2)、.2-6x2-15x=0(6x2,15x,-.2)(3) 3y(y1)=7(y2)-5(3y2,-4y,-9)(4) (m、m)(m-m)(m2)2=75m(2m2,0,-3)(5) (5a-1)2-4(a-3)2(3a2,2a,-5)

11、2 .應用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值(1) m為何值時，關于x的方程(m52)乂"(m+3)x=4m是一元二次方程。(m=J2)(2)若分式x-7x-8=0,則x=x-1(x=8)3 .由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值(1)關于x的一元二次方程(a1)x2+x+a2-1=0有一個根為0,則2=(a=1)2(2)已知關于x的一兀一次萬程ax+bx+c=0(a豐0)有一個根為1,一個根為-1,則a+b+c=(0,0)a-bc=(3)已知c為實數(shù)，并且關于x的一元二次方程x23x+c=0的一個根的相反數(shù)是方程x2+3xc=0的一個根，求方程x2+3xc=0的根及c的值。(0

12、,-3,c=0)(二)一元二次方程的解法1.開平方法解下列方程：22_5622(1)5x2-125=0(x1=5,x2=-5)(2)169(x-3)2=289(x1=二，x2=22)1313(3)y2+361=0(原方程無實根)(4)(1J3)m2=0(m1=m2=0)2(3x1)2-1-2.5(5)=8(x=)532.配方法解方程：f22-51-21(1)x+2x-5=0(x=T±、6)(2)y+5y+1=0(x=)2(3)2y24y=一3(y=1±)3 .公式法解下列方程：(1) 3x2=6x2(x=31)3一2一11一(3)7y=11y(y1=,y2=0)i(5) x

13、+2=(x-2)(2x-1)-3(x=3工"5)24 .因式分解法解下列方程：,、12(1) x一9=0(x=：t6)413(3)8x+10x-3=0(x1=，x2=)42(2)p2+3=2<3p(p1=p2=V3)_2(4)9n=5n2(原方程無實數(shù)根)2(2)y+4y45=0(y1=9,y2=5)(4)J7x2-x=0(%=0,x2=4"3)23.2._.2_._(5)6x-3v3x=2v2x-v6(x1=,x2=)(6)(x-5)=2(x-5)-1(x1=x2=6)23(7)(x2+3x)2-2(x2+3)8=0(x1=-2,x2=-1,x3=4,x4=1)5.

14、解法的靈活運用（用適當方法解下列方程）(1)V2(2x7)2=*的(x=L±也)2222(2)2m-m+1=2(m2m)(m=(3)6x(x-2)=(x-2)(x3)(x1=2,x2=)5(4)y23y(3-2y),y(3y-1)(yi=(5)81(2x-5)2=144(x-3)227(x1=TT,x2106.解含有字母系數(shù)的方程（解關于的方程）：(1)x2-2mxm2-n2=0x1=m。n,x2=mn)(2)x23a2=4ax2a1(xi=3a-1,x2=a1)(3)(m+n)x2+2nx=mn(x1=-1,x2(4)a2(x2-x1)-a(x27)=(a2-1)x（討論a）（三）

15、一元二次方程的根的判別式1.不解方程判別方程根的情況：一,2一、,(2)3(x+2)=4x(無實數(shù)根)2（1）4xx+3=7x（有兩個不等的實數(shù)根）（3）4x2+5=4、/5x（有兩個相等的實數(shù)根）2 .k為何值時，關于x的二次方程kx2-6x+9=0（1）有兩個不等的實數(shù)根（k<1且k00）（2）有兩個相等的實數(shù)根（k=1）（3）無實數(shù)根（k>1）3 .已知關于x的方程4x2-（m+2）x=1-m有兩個相等的實數(shù)根.求m的值和這個方程的根.-1_3m=2,x二x2=一或m=10,x二x2二一)224 .若方程x2+2(a+1)x+a2+4a5=0有實數(shù)根，求：正整數(shù)a,(a=1,

16、a=2,a=3)5 .對任意實數(shù)m,求證：關于x的方程（m2+1）x2-2mx+m2+4=0無實數(shù)根.6 .k為何值時，方程(k1)x2(2k+3)x+(k+3)=0有實數(shù)根.4(當k-1=0時，原方程有一個實數(shù)根，x=4;5k一1二0k:1：_0時，解得2121,所以當k之-父且k#1時方程有兩個實數(shù)根。k-214421綜上所述，當k至一時，方程有實數(shù)根.)47 .設m為整數(shù)，且4cm<40時，方程x22(2m3)x+4m214m+8=0有兩個相異整數(shù)根，求m的值及方程的根。(當m=12時，方程的根為x1=16,x2=26；當m=24時，方程的根為x1=38,x2=52)(四)一元二次

17、方程的應用（3,4,5,面積為6）1 .已知直角三角形三邊長為三個連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長和面積4,2 .一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4,且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小求這個兩位數(shù).（84）3 .某印刷廠在四年中共印刷1997萬冊書，已知第一年印刷了342萬冊，第二年印刷了500萬冊，如果以后兩年的增長率相同，那么這兩年各印刷了多少萬冊?(550,605)4.某人把5000元存入銀行，定期一年到期后取出還是一年，且利率不變，到期如果全部取出，正好是300元，將剩余部分（包括利息）繼續(xù)存入銀行，定期275元，求存款的年利率？（不計利息稅）（10%）5.某商場銷售一批名牌襯衫

18、，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施，經調查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？（20元）6 .已知甲乙兩人分別從正方形廣場ABCM頂點B、C同時出發(fā)，甲由C向D運動，乙由B向C運動，甲的速度為每分鐘1千米，乙的速度每分鐘2千米，若正方形廣場周長為40千米，問幾分鐘后，兩人相距2JT0千米？（2分鐘后）7 .某科技公司研制一種新產品，決定向銀行貸款200萬元資金，用于生產這種產品，簽訂的合同上約定兩年到期時一次性還本付息，利息為本金的8%,該產品投放市場后由于產銷對路，使公司在兩年到期時除還清貸款的本金和利息外，還盈余72萬元，若該公司在生產期間每年比上一年資金增長的百分數(shù)相同，試求這個百分數(shù).（20%）8 .如圖，東西和南北向兩條街道交于O點，甲沿東西道由西向東走，速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走