2021年醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)專業(yè)《醫(yī)科數(shù)學(xué)C》試卷及答案

2021年醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)專業(yè)《醫(yī)科數(shù)學(xué)C》試卷四五六總分一、填空題(共6道小題，每小題3分，滿分18分)f(x)=<(1+sin2x)x,x豐0,為連續(xù)函數(shù)，則常數(shù)a=.a,x=02.設(shè)廠f(x),f(0)=0,f'(0)=1,則limf(2x)-=.xf0 x.已知曲線y=f(x)過點(0,1)且其上任一點(x,y)處切線斜率為x2sinx3,則f(x)=.積分12(x3cosx+<4-x2)dx=.-2.方程(y")3-xy'+cosy=x5是階微分方程..設(shè)區(qū)域D:x2+y2<1,則二重積分』』dxdy=.D得分|二、選擇題(共6道小題，每小題3分，滿分18分).設(shè)f(x)=arctan—,則x=0是( ).x(A).跳躍間斷點； (B).可去間斷點； (C).振蕩間斷點； (D).無窮間斷點..若點(x0,f(xJ)為曲線y=f(x)的拐點，貝U( ).(A).必有f〃(x0)存在，且等于零； (B).必有f〃(x0)存在，但不等于零；(C).若f"(x)存在，則必等于零； (D).若f"(x)存在，則必不等于零.00(共6頁第1頁)3．下列廣義積分收斂的是（）．(A).J+slnxdx； (B).J+sdx； (C).)+°°-^=dx； (D).J+s-^dx.ex exlnx ex、lnx exln2x4.微分方程dy+dx=0，滿足初始條件y(1)=2的特解是( ).x2 y2.x2+y2=2；.x3+y.x2+y2=2；.x3+y3=9；. x3+y3=1；(D).x3 y3—+—=1.3 3.由方程F（x,y,z）=0確定z是x,y的函數(shù)F是可微函數(shù)，)..FF'—、F'.——F'/、F'(C).-xF(D)..曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面工=f（x,y），底為有界閉區(qū)域D則曲頂柱體的體積為（).f(x,y)|dxdy；(D).JJf(x,y)dxdy.D(A).JJf(x,y)df(x,y)|dxdy；(D).JJf(x,y)dxdy.D三、計算下列各題（共5道小題，每小題各6分，滿分30分）.設(shè)f(x)=Jx2sin12dt,g(x)=Jx(15+15cost)dt，當(dāng)xT0時，試比較無窮小量f(x)與g（x）的階.x2.求積分),(4 )dx..若j2ln2.1 =dx=—，求a.a eex—1 6.求積分口以盯dxdy,D為由曲線xy=1與直線x=1,x=2,y=2所圍成的區(qū)域.D5.求積分）j\，x2+y2dxdy，其中D是由曲線x2+y2=2y圍成的區(qū)域.I得分I四、（共2道小題，每小題6分，滿分12分）dz dz八.設(shè)z=f（x2+y2,ex2+y2），其中f具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證y——x—=0.d.x dyy.設(shè)z+lnz-Ixe-"dt=0，求dz.y?得分|五、（共1道小題，滿分8分）求方程y〃-y'=”滿足初始條件y|=e,y'|=2e的特解.X=1 X=1?得分?六、應(yīng)用題（共2道小題，第1小題8分，第2小題6分，滿分14分）x3.求函數(shù)＞二 的單調(diào)區(qū)間，極值，凹凸區(qū)間，拐點，垂直漸近線.（x-1）2.求由曲線y=%反，與其在CM）點處的切線及直線X=0所圍成的平面圖形，繞x軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積．《醫(yī)科數(shù)學(xué)C》試卷答案四五六總分一、填空題(共6道小題，每小題3分，滿分18分)1．f(x)=<3(1+sin2x)x，x中0,為連續(xù)函數(shù)，則常數(shù)a=a, x=02．設(shè)y=f(x),f(0)=0,f'(0)=1,則limf^x)xT0x3．已知曲線y=f(x)過點(0,1)且其上任一點(x,y)處切線斜率為x2sinx3,則f(x)=-cosx3+—4.積分』2(x3cosx+v'4—x2)dx=-25.方程(y〃)3—xy'+cosy=x5是階微分方程．(或2)6.設(shè)區(qū)域D:x2+y2<1,則二重積分』』dxdy二D選擇題(共6道小題，每小題3分，滿分18分).設(shè)f(x)=arctan-，則x=0選擇題(共6道小題，每小題3分，滿分18分).設(shè)f(x)=arctan-，則x=0是(A

x(A).跳躍間斷點；(B).可去間斷點;)．(C)．振蕩間斷點；(D).無窮間斷點.2.若點(x0,f(xJ)為曲線y=f(x)的拐點則(C)．(A).必有八x0)存在,且等于零;(B)．必有f〃(x0)存在,但不等于零;.若.若f，，(xo)存在,則必等于零;.若f〃(X0)存在，則必不等于零..下列廣義積分收斂的是(D).(A).J+89d(A).J+89dx； (B),Jex+8eXlnXdx；1(C). dx；eX\.lnx(D)．J+8 —dx.exln2x.微分方程?+dx=0，滿足初始條件y(1)=2的特解是(B).(A).x2+y2=2；(B).x3+y3=9；(C). X3+y3=1；(D)．X3 y3—+—=1.3 35.由方程F(x,y,z)=0確定z是x,y的函數(shù)F是可微函數(shù))．(A).FF'「、F'(B).—-X-F'(D)．6.曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面z=f(X,y)，底為有界閉區(qū)域D則曲頂柱體的體積為(C).(A)」jf(X,y)dXdy；(B).—JJf(X,y)dxdy；(C)」Jf(x,y)|dxdy；(d).jjf(x,y)dxdy.D三、計算下列各題(共5道小題，每小題各6分，滿分30分)1.設(shè)f(x)=JX2sin12dt,g(x)=iX(15+15cost)dt，當(dāng)Xf0時，試比較無窮小量f(x)與g(X)的階.f(x) Jxsint2dt解lim=lim0 xf0g(x) xf0Jx(t5+t5cost)dt0=limXf02xsinx4X5+X5cosX(2分)=2limXf0sinX4X4lim—1—=1Xf01+cosX(4分)(6(6分)所以無窮小量f(X)與g(X)是等價無窮小量.2.求積分2.求積分1C(4—x2)3設(shè)x=2sint，則dx=2costdt，于是4sin212cost(3分)dx=J dt=tan21(3分)(2cost)3(6分)=1(sec21—1)dt=tant—t+C=x—arcsin—+Cj4—x2(6分)3.若121n2.1 dx=—,求aeex—1解設(shè)%，,口31=t，則x=1n(1+12),x=aeex—1解設(shè)%，,口31=t，則x=1n(1+12),x=a時，t=e'；ea—1；x=21n2時，t=33，于是121n2 1 1 2tJ.，卜3 1J dx= dt=2J- dta e'e——1 t1+12z—11+12=2arctant|3-=——2arctan\e——1=—51 3 6(3分)所以arctanee——1=—，即a=1n2.44.求積分11yexydxdy，D為由曲線xy=1與直線x=1(6分),x=2,y=2所圍成的區(qū)域.I0<x<1I0<x<1解積分區(qū)域如圖,外x2<y<2和［0<y<x2,則11yexydxdy=11dy12yexydx+12dy12yexydx

11 1 1(3分)2y=11exy12dy+12exy1x=2dy=11(e2y-e)dy+12(e2y-ey)dyx=1 1 121=(-e2y—ey)乙+(2e2y—ey)1—e42(6分)5.求積分D5.求積分D+y2dxdy，其中D是由曲線x2+y2=2y圍成的區(qū)域.[0<0<K解積分區(qū)域為D1[0<0<K解積分區(qū)域為D10<r<2s,n0于是+y2dxdy=J兀d0f2sin0r.rdr

0 0（4分）四、=lj%sin30d0=§J"(cos20-1)dcos030 3081 32=-(-C0s30—COs0)「=-33 I。 9（共2道小題，每小題6分，滿分12分）(6分)“、女1.設(shè)z=f（x2+y2,ex2+y2），其中f具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證y—d.x（2分）（2分）解一=f.2x+f.ex2+y22x=2x(f+ex2+y2f),

ax 1 2 1 2q=f'.(2y)+f'.ex2q=f'.(2y)+f'.ex2+y22y=2y(f'+ex2+y2f')（4分）w& &貝Uyax—x而=y.2x(f+ex2+y2f')—x.2y(f+ex2(6分)2.設(shè)z+lnz-fxe-2dt=0，求dz.yaz1az az z解 方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)ax+zax—e-x2=0，即ax=小e-x2；（2分）所以az 1az a az z方程兩邊關(guān)于y求導(dǎo)ay+—ay+e-y2=0，即ay=一十1e-y:（4分）dz二空dx+三dy二

ax ay (e-x2dx-e-y2dy)z+1(6分)五、（共1道小題，滿分8分）求方程y〃-y'=ex滿足初始條件y二ex=1x=1=2e的特解?解令y'=P，則y"=半，于是dxdPp（2分）—P=ex（2分）dxdP dP對應(yīng)齊次方程 一P=0, =dx,lnP=x+InCdx P對應(yīng)齊次方程通解P=Cex1令非齊次方程通解P=C(x)ex，則C'(x)ex=ex,.x)=1,C1(x)=x+J非齊次方程通解

P=(x+C)ex1(6分)（8分）將Px=1=y/x=1=2e，代入上式 (6分)（8分）P=(x+1)ex，即—=(x+1)ex,dxy=』(x+1)exdx+C=xex+C,

2 2將ylx=1=e，代入上式C2=0所求特解為：y=xexH六、應(yīng)用題（共2道小題，第1小題8分，第2小題6分，滿分14分）x3.求函數(shù)y= 的單調(diào)區(qū)間，極值，凹凸區(qū)間，拐點，垂直漸近線.（x一1）2函數(shù)y的定義域為(一8,1)u(L+8)；,x2(x一3) 〃 6xy= ,y= ；(x-1)3 (x-1)4'x(-8,0)0(0,1)(1,3)3(3,+8)yy+0+0+y，'0++++yr取拐點取極小值令y'=0，得x=0,x=3；令y"=0，得x=0。列表討論如下則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（1,3）；單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,0）,（0,1）,（3,+8）。供6頁第5頁）（5分）…27函