微積分初步輔導(dǎo)二

1、微積分初步單元輔導(dǎo)二導(dǎo)數(shù)與微分部分學(xué)習(xí)重難點(diǎn)解析(一) 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)增量之比的極限，即f (x) = lim lim f(X，x) - f (x)u0 =x g0-X我們把衛(wèi)稱為函數(shù)的平均變化率，把lim衛(wèi)稱為變化率，若lim y存在則可導(dǎo)，否則不可xIZX Z導(dǎo)導(dǎo)數(shù)是由極限定義的，故有左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù) f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)必有函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等(二) 導(dǎo)數(shù)、微分和連續(xù)的關(guān)系由微分的定義dy = f (x)dx可知(1) 函數(shù)的可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，即函數(shù)可導(dǎo)一定可微；反之可微一定可導(dǎo)(2) 計(jì)算函數(shù)f(x)的微分dy，只要計(jì)算出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)再乘上

2、自變量的微分dx即可；因此，我們可以將微分的計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的計(jì)算歸為同一類運(yùn)算(3) 由定理可知，連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，那么，函數(shù)可微也一定連續(xù).反之不然，即連續(xù)函數(shù)不一定是可導(dǎo)或可微函數(shù).(三) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義由切線問題分析可知，函數(shù)y二f(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y二f(x)在點(diǎn)(X。，f (x。) 處切線的斜率。于是，y二f(x)在點(diǎn)(xo，yo)處的切線方程為(四) 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的計(jì)算掌握導(dǎo)數(shù)的計(jì)算首先要熟記導(dǎo)數(shù)基本公式和求導(dǎo)法則.在我們這門課程中所學(xué)習(xí)的求導(dǎo)法則和方法有：(1) 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；(3)隱函數(shù)求導(dǎo)方法.對(duì)于上述法則和方法在實(shí)用中要注意其成立的條件

3、在導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則中，應(yīng)該注意乘法法則和除法法則，注意它們的構(gòu)成形式并注意解題的技巧例如，yX，求廠心.這是一個(gè)分式求二階導(dǎo)數(shù)的問題，形式上應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)的除法法則求解，但是，如果將函數(shù)變形為y x再求導(dǎo)數(shù)就應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)的加法法則了 假如我們掌握了一些解題的技巧，會(huì)使我們的運(yùn)算變得簡單還會(huì)減少錯(cuò)誤復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，它的困難之處在于對(duì)函數(shù)的復(fù)合過程的分解.由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知，復(fù)合函數(shù)y二f(u),u二(X)的導(dǎo)數(shù)為：y f (u) (x)在求導(dǎo)時(shí)將y二f( :(x)分解為y二f (u), (x)(其中u為中間變量)，然后分別對(duì)中間變量和自變量求導(dǎo)再相乘那么如何進(jìn)行分解就是解題的關(guān)

4、鍵，一般的說，所設(shè)的中間變量應(yīng)是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算，這樣就會(huì)對(duì)于 y二f(u),u二(x)分別都要有導(dǎo)1v；= 尸.相乘得到2( x數(shù)公式或法則可求導(dǎo).如果分解后找不到求導(dǎo)公式，則說明分解有誤.例如函數(shù)y二sin $ . x，yx = 2sin . x cos、:x =一sin2A/x.有一種錯(cuò)誤的分解是 y = sin2u,u = (x，這樣在求導(dǎo)2jx 2jx其分解為y二u u二sinv,v = x .于是分別求導(dǎo)為,yu 二 2u,uv 二 cosv，時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)沒有導(dǎo)數(shù)公式可以來求yu 隱函數(shù)的特點(diǎn)是變量 y與x的函數(shù)關(guān)系隱藏在方程中，例如y =1 xsin y，其中的s

5、in y不 但是y的函數(shù)，還是x的復(fù)合函數(shù).所以對(duì)于sin y求導(dǎo)數(shù)時(shí)應(yīng)該用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，先對(duì) y的函數(shù)sin y求導(dǎo)得cosy，再乘以y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)由于y對(duì)x的函數(shù)關(guān)系不能直接寫出來， 故而只能把y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)寫為yl一般地說，隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)分為下列兩步： 方程兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)，視y為中間變量，求導(dǎo)后得到一個(gè)關(guān)于 y的一次方程; 解方程，求出y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)y .總之，導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則是要靠練習(xí)來熟悉和理解的，我們應(yīng)該通過練習(xí)掌握方法并從中獲得技巧微積分初步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)導(dǎo)數(shù)與微分部分典型例題例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：設(shè)y =x +3x +Iog3 x 逅，求y .；設(shè)y =尋|，求dyxsin

6、x(3)設(shè) y，求 y ().1 cosx3分析 這三個(gè)函數(shù)都是由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算得到的初等函數(shù)，求導(dǎo)或求微分時(shí),需要用到導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則對(duì)于(1)先用導(dǎo)數(shù)的加法法則，再用導(dǎo)數(shù)基 本公式；對(duì)于 ，可以先用導(dǎo)數(shù)除法法則，再用基本公式；但注意到 (2)中函數(shù)的特點(diǎn),先將函數(shù)進(jìn)行整理,=x -2x 3，則可用導(dǎo)數(shù)的加法法則求導(dǎo)，得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后Jx再乘以dx，得到函數(shù)的微分；對(duì)于(3)用導(dǎo)數(shù)除法法則，再用基本公式(1) y =(X3 3x log3x-3 3) =(x3)(3x)(log3x) -(3 3)3x1 23x In3-0 =3x23x In3xln 3于是2(1

7、cosx)(1 cosx)2(1 cosx)21 cosx所以y ()=131 +COSX x2因?yàn)橥≡缳谝?"x所以y =(x3) 2(x芻身4x待，33在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則應(yīng)注意: 在求導(dǎo)或求微分運(yùn)算中，一般是先用法則，再用基本公式;把根式q xp寫成冪次Pxq的形式，這樣便于使用公式且減少出錯(cuò); 解題時(shí)應(yīng)先觀察函數(shù)，看看能否對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形或化簡，在運(yùn)算中盡可能的避免使用導(dǎo)數(shù)的除法法則如例1中的小題，將yx二2變形為y = x二2=x2x3后再求導(dǎo)3232x、X數(shù)，這種解法比直接用除法法則求解要簡便且不易出錯(cuò) 導(dǎo)數(shù)的乘法和除法法則與極限相應(yīng)的法則不同，運(yùn)算也相對(duì)復(fù)雜得多，計(jì)算

8、時(shí)要細(xì)心.例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：、sinlJ- 設(shè) y =e x，求 dy . ； (2)設(shè) y = ln(x -試1 x )，求 y C、3). (3)設(shè) y =(邛)10，求 y .x +1分析 采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，所設(shè)的中間變量應(yīng)是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算.求導(dǎo)時(shí)，依照函數(shù)的復(fù)合層次由最外層起，向內(nèi)一層層地對(duì)中間變量求導(dǎo)，直至對(duì)自變量求導(dǎo)為止.解(1)設(shè)y = e ,u = sin v,v =丄，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有x1 1si n_11si n_11代回還原得 y =e xcos (2)， dy = y dx = e xcos(2)dxx xx x在基本掌握復(fù)合

9、函數(shù)求導(dǎo)法則后，也可以不寫出中間變量，如下解法：(2)設(shè)y =1 n u,u = x - 一 v,v = x2 1，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有代回還原得1X - I X21y ( 3)二1 2 1 1 2 或著嚴(yán)xnT-LrTx-k(1)< 設(shè)y二u10,U二仝,v =X2，1，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則有,v代回還原得,=10(二)9x +1X2 1 -2x2 _ 10x9(1 -X2)(X21)2 一 (X21)11或著 y =10(¥ )9x +1(七X 17)9X21 - x 2x(X2 1)2例3求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y或微分dy :(1) x2y

10、2 xy = 0，求 dy ；(2) exy y ln x 二 cos2x，求 y .分析 隱函數(shù)的特點(diǎn)是：因變量 y與自變量x的對(duì)應(yīng)關(guān)系是隱藏在方程中的.因此，在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，不要忘記 y是x的函數(shù)，在對(duì)y的函數(shù)求導(dǎo)后切記再乘以 y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)y.依隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的步驟求導(dǎo).解(1)方法1由導(dǎo)數(shù)得到微分方程兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)，視y為中間變量，有2x 2yy (y xy) = 0，即卩(x 2y)y = _(y 2x)整理方程，解出y，得：y-*空，dy二ydx丄dx x+2yx+2y方法2方程兩邊對(duì)變量求微分，這時(shí)變量y和x的地位是相同的，即不再將y看作x的函數(shù).2 2d(x y xy) =0， 2

11、xdx 2ydy ydx xdy = 0dy =y 2xx 2ydx(2) 方程兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)，視y為中間變量，有于是(xexy In x)y =-2sin 2 - - yexyx整理方程解出y ，得：2sin2x+f + y驟2xsin2x+y + yxe八xexy Inxx2exy xl nx例4求由曲線x2 xyy 4在點(diǎn)M (2,-2)的切線方程分析如果函數(shù)y二f(x)可導(dǎo)，函數(shù)曲線在點(diǎn)xo處的切線方程為因此求曲線在某點(diǎn)處的切線方程，必須知道兩點(diǎn)：曲線在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f (xo)；切點(diǎn) (xo,y°).此題中，切點(diǎn)M(2,-2)已知，只需對(duì)隱函數(shù)方程求導(dǎo)數(shù)，求出f (xo

12、).解 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得：2x y x 2y = o解出y ，得，七xz21鳥_2于是，在點(diǎn)M(2,-2)的切線方程為：y-(-2)=1 (x-2)，即y = x-4在題目中只給出切線請(qǐng)注意：求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)概念的一個(gè)重要應(yīng)用，一般地,方程的兩個(gè)要點(diǎn)中的一個(gè)， 另一個(gè)是要根據(jù)已知條件求出來的再則，如果已知條件中只給 了切點(diǎn)的橫坐標(biāo)X。，那么縱坐標(biāo)yo可以通過yo = f(x。)得到.例5求函數(shù)y V'xlnx的二階導(dǎo)數(shù).分析 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).(如果仍然可導(dǎo)).解因?yàn)槎?1 lnx ”匚 1 (1lnx 1)2.xx x 2所以y汕nx " 12

13、、22Jx32 In x.微積分初步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用部分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)一、學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)解析(一)函數(shù)的單調(diào)性與極值：函數(shù)的單調(diào)性判別法，函數(shù)極值及其求法了解駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值等概念。了解可導(dǎo)函數(shù)極值存在的必要條件。知 道極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系。掌握用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值與極值點(diǎn)(包括判別)的方法。1. 函數(shù)單調(diào)性的判別方法：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟為：(1) 確定函數(shù)的定義域；(2) 求出函數(shù)在其定義域內(nèi)的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)把定義域分成若干子區(qū)間；(3) 確定在每個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)：一般在該區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)，求出的符號(hào)，由于在該區(qū)間內(nèi)有單調(diào)性，故的符號(hào)就是在該區(qū)間內(nèi)的符號(hào).(4) 根據(jù)

14、每個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，確定的單調(diào)增減性，得到的單調(diào)區(qū)間2. 函數(shù)極值的求法： 求函數(shù)極值的步驟為：(1) 確定函數(shù)的定義域，并求的導(dǎo)數(shù) ；(2) 解方程，求出在定義域內(nèi)的所有駐點(diǎn)；(3)找出在定義域內(nèi)的所有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);(4)討論在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左、 右兩側(cè)附近符號(hào)變化情況， 確定函數(shù)的極值點(diǎn)(二)最大值、最小值問題掌握求解一些簡單的實(shí)際問題中最大值和最小值的方法，以幾何問題為 主。函數(shù)最值得求法：求函數(shù)最值的步驟為：(1) 求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)在指定區(qū)間的內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；(2) 求出所給區(qū)間上所有駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)及邊界點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較；(3) 上述駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)及邊界點(diǎn)的函數(shù)值中

15、最大者為最大值，最小者為最小值.二、典型例題例1在指定區(qū)間10，10內(nèi)，函數(shù)y二()是單調(diào)增加的。A. sinxB. e»C. x2D. ln(x 20)解這個(gè)題目主要考察同學(xué)們對(duì)基本初等函數(shù)圖形的掌握情況。因它們都是比較簡單 的函數(shù)，從圖形上就比較容易看出它們的單調(diào)性。A中sinx是正弦函數(shù)，它的圖形在指定區(qū)間10，10內(nèi)是波浪形的，因此不是單調(diào)增 加函數(shù)。B中e是指數(shù)函數(shù)，(e)1 e“<0,故它是單調(diào)減少函數(shù)。C中X2是冪函數(shù)，它在指定區(qū)間10，10內(nèi)的圖形是拋物線，因此不是單調(diào)增加函 數(shù)。根據(jù)排除法可知正確答案應(yīng)是 D也可以用求導(dǎo)數(shù)的方法驗(yàn)證：因?yàn)樵谥付▍^(qū)間10,110

16、內(nèi)，有(ln(x 20)0，x +20故y =1 n(x 20)是單調(diào)增加函數(shù)。正確的選項(xiàng)是D。例2函數(shù)f(x) =x-l nx的單調(diào)增加區(qū)間是()。解 用求導(dǎo)數(shù)的方法，因?yàn)閒(x)=(x-l nx)：1-丄x令f (x)-丄.0,則x 1，貝愜數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是(1, = ) ox例3函數(shù)的駐點(diǎn)是.解 根據(jù)駐點(diǎn)定義，令y'6(x_1)=0,得 。應(yīng)該填寫例4 函數(shù)f(x)=|x1+2的最小值點(diǎn)是 x = .解 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=|x1 +2在點(diǎn)x = 1處連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在，且當(dāng) x >1或f ( x) > f (1)，所以點(diǎn)x = 1是函數(shù)f(x)=|x1+2的最小值點(diǎn)。

17、應(yīng)該填寫1例4應(yīng)用題x < 1 時(shí),圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為I，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí),圓柱體的體積最大？求曲線y2二X上的點(diǎn)，使其到點(diǎn) A(3,0)的距離最短解：如圖所示，圓柱體高h(yuǎn)與底半徑r滿足h2 r2圓柱體的體積公式為V=：r2h將 r2 =l2 -h2代入得 V K(l2-h2)h求導(dǎo)得V = :(-2h2(I2 -h2)=二(I2 -3h2)令八0得h牛1，并由此解出r哼。即當(dāng)?shù)装霃絩討1，高h(yuǎn)詩時(shí),圓柱體的體積最大。曲線y2 =X上的點(diǎn)到點(diǎn)A(3, 0)的距離公式為d=1(x-3)2y2d與d2在同一點(diǎn)取到最大值，為計(jì)算方便求d2的最大值點(diǎn)，將y2二x代入得求導(dǎo)得令()7得x=5。并由此解出 V，即曲線y2=x上的點(diǎn)(汁)和點(diǎn)(舟點(diǎn)A(3, 0)的距離最短例5證明題