2021年全國高考數(shù)學(xué)壓軸題新高考全國Ⅱ卷

絕密★啟用前

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(新高考

全國n卷)壓軸題

注意事項：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2、請將答案

正確填寫在答題卡上

8.已知函數(shù)/(X)的定義域為R,f(x+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)為奇函數(shù)，則()

A./(-A)=0B.-1)=0C./'(2)=0D.f(4)=0

2

答案：B

本題考查了函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

解：由題意，f(x+2)為偶函數(shù)，可得/'(x+4)=f(-x),

f(2x+l)為奇函數(shù)，可得-2x+l)=-f(2x+l),

令F(x)=/(2x+l)為奇函數(shù)，

可得/(0)=/(1)=0,

/./(-1)=-/(3)=-/(1)=0,

即/(-x)=-f(x+2),

:?/(x+4)=-f(x+2),

易知/(x)的周期T=4,其他選項的值不一定等于0.

BP/(-1)=0,故選：B.

二.多選題(共1小題)

12.設(shè)正整數(shù)〃=。。?20+。1?21+…+四-1?23】+以,2%,其中。作{0,1},記3(〃)=ao+m+…+四，則()

A.U)(2〃)=3(〃)B.U)(2〃+3)=u)(〃)+1

C.O)(8〃+5)=3(4〃+3)D.3(2"-1)=n

答案：ACD

本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于難題.

解：V2n=ao92]+a\?22+,**+^-i92k+ak92k+l,/.o)(2n)=a>(n)=〃o+m+…+Z,?'.A對；

當(dāng)〃=2時，2n+3=7=P2°+P21+l-22,Aco(7)=3.V2=0*2°+P2l,Au)(2)=0+1=1,A

3(7)Ko)(2)+1,???8錯；

8〃+5=40?23+41"+???+以"+3+5=1?2°+l"+323+41"+???+以?2好3,

.*.a)(8〃+5)=ao?+m?+???+ak+2.V4?+3=ao?22+^i?23+???+ak?2^+2+3=1?2°+1?21+tzo?22+tzi*234-

???+以?2-2,

.*.0)(4〃+3)=〃()?+m?+???+01+2=0)(8〃+5)..二。對；

,.?2〃-1=1?2°+1?21+???+1?2'11(2〃-1)=〃，???。對.

故選：ACD.

三.填空題(共1小題)

16.已知函數(shù)f(x)=|/-1|,xi<0,^2>0,函數(shù)/(x)的圖象在點A(xi,f(xi))和點B(X2,

f(x2))的兩條切線互相垂直，且分別交)，軸于M,N兩點，則物的取值范圍是

|BN|一

答案：(0,1)

本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：切線的方程，以及兩直線垂直的條件，考查方程思想和運算能力，屬于中

檔題.

解：當(dāng)x<o時，/co=1-/,導(dǎo)數(shù)為r(X)=-〃，

可得在點A(XI,1-j)處的斜率為依=--，

切線AM的方程為y-(1-cvl)=-(x-xi),

令x=0,可得y=1-即M(0,l-e”+xiR),

當(dāng)xVO時，f(x)=/-1,導(dǎo)數(shù)為/(x)=炭，

可得在點B(X2,er2-l)處的斜率為近=/2,

x22v2

令x—0,可得y=e，2-1-X2e,即N(0,e*-1-x2e),

由f(x)的圖象在4,B處的切線相互垂直，可得依&2=-1,

四.解答題(共2小題)

21.一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后

為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同

的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，尸(X=i)=pi(i=0,1,2,3).

(I)已知po=O.4,pi=0.3,「2=0.2,p3=0.1,求E(X)；

(II)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，0是關(guān)于x的方程：

=x的一個最小正實根，求證：當(dāng)E(X)W1時，p=\,當(dāng)E(X)>1時，/?<1；

(Ill)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義.

本題考查了樣本估計總體的應(yīng)用，事件概率的理解和應(yīng)用，數(shù)學(xué)期望公式的運用，考查了邏輯推

理能力與運算能力，屬于中檔題.

解：(1)解：由題意,Po=O.4,Pi=0.3,22=0.2,尸3=0.1,

故E(X)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1；

(II)證明：由題意可知，po+p\+p2+p3—i,則E(X)=pi+2P2+3p3,

所以po+pix+pf+ps/nx,變形為po-(1-pi)犬+02金+039=0,

所以0)+p2x2+p3x3-(po+p2+p3)X=0,

即po(1-X)+P2X(X-1)+P3X(X-1)(x+l)=0,

即(X-1)[/73X2+(p2+〃3)X~po]=O,

令f(X)=/73X2+(p2+〃3)X-pO,

則fCx)的對稱軸為0，

2P3

注意到/(0)=-po<o,/(I)=2p3+p2-po=pi+2P2+303-1=E(X)-1,

當(dāng)E(X)時，/(1)WO,f(x)的正實根xo》l,原方程的最小正實根p=l,

當(dāng)E(X)>1時，/(1)>0,f(x)的正實根xo<l,原方程的最小正實根p=xo<1；

(in)解：當(dāng)1個微生物個體繁殖下一代的期望小于等于1時，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近

滅絕；

當(dāng)1個微生物個體繁殖下一代的期望大于1時，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能.

22.已知函數(shù)/'(x)=(x-1)d-aR+b.

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(II)從下面兩個條件中選一個，證明：/(x)有一個零點.

12

①?！?b>2a；

22

?0<a<—>bW2a.

2

本題考查了分類討論函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點問題，考查零點存在定理，屬于難題.

解：(I)(x)=(x-1)，-ax^+b,f(x)—x-2a),

①當(dāng)aWO時，當(dāng)x>0時，/(x)>0,當(dāng)x<0時，/(x)<0,

：.f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

②當(dāng)a>0時，令/(x)=0,可得x=0或x=/〃2a,

(力當(dāng)0<a<2時，

2

當(dāng)x>0或時，/(x)>0,當(dāng)/"2a<x<0時，/(x)<0>

：.f(x)在(-8,加2.),(0,+8)上單調(diào)遞增，在(/〃2a,0)上單調(diào)遞減,

(ii)a=_l時，

2

f(x)=x(er-1)>0且等號不恒成立，.'./(x)在R上單調(diào)遞增，

(Hi)當(dāng)a〉」T'h

2

當(dāng)xVO或加2〃時，f(x)>0,當(dāng)0VJVV/〃2〃時，f(x)<0,

f(x)在(-8,0),(及20+8)上單調(diào)遞增，在(0,歷2〃)上單調(diào)遞減.

綜上所述：

當(dāng)時，f(x)在(-8,o)上單調(diào)遞減；在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0〈a<」時，/(x)在(-8，加2a)和(0,+~)上單調(diào)遞增；在Qn2a,0)上單調(diào)

2

遞減；

當(dāng)a」時，F(xiàn)(x)在R上單調(diào)遞增；

2

當(dāng)a>1時，f(x)在(-8,0)和(加2a,+°°)上單調(diào)遞增：在(0,ln2a)上單調(diào)遞

2

減.

(H)證明：若選①，由(1)知，/小)在(-8,0)上單調(diào)遞增，(0,/"2a)單調(diào)遞減,

(/“2a,+°°)±f(x)單調(diào)遞增.

注意到f(0)=b-l>2a-l>G

：.f(x)在,0］上有一個零點;

f(ln2a)=(ln2a-1)2a-a-ln22a+h>2aln2a-2a-aln22a+2a=aln2a(2-Inla),

12

由—得0<仇2a<2,alnla(2-ln2a)>0,

22

???/(加2〃)>0,當(dāng)x>0時，/(x)>f(ln2a)>0,此時/(x)無零點.

綜上：/(x)在R上僅有一個零點.

若選②，則由(I)知：/(x)在(-8,加2。)上單調(diào)遞增，在(物2m0)上單調(diào)遞減，在(0,

+8)上單調(diào)遞增.

f(ln2a)=(bi2a-1)2a-aln22a+b^2aln2a-2a-a而2a+2a=aln2a(2-l〃2a),

0<a<—>；?//2a<0，：.aln2a(2-ln2a)<0,：.fUn2a)<0,

2

...當(dāng)x<0時，/(x)&f(必)<0,此時/(x)無零點.

當(dāng)x>0時，f(x)單調(diào)遞增，注意到f(0)=6-l42a-IVO,

取c=V2(l-b)+2,，c>a>1,又易證e，>c+l,

c2+>22+21

f(c)=(c-l)e-acb^(c-l)(c+l)-ac+b=(1-a)cb-l>-^-c+b-l=l-b+l+b

=l>0,

：.f(x)在(0,c)上有唯一零點，即/(x)在(0,+8)上有唯一零點.

綜上：/(x)在R上有唯一零點.

壓軸題模擬

1.(2021?云南紅河哈尼族彝族自治州?高三三模)已知函數(shù)/(X)是定義在R的奇函數(shù)，且滿足

〃x+i)+/(i-力=0,當(dāng)工?-1,0),/(6=-111W，則下列關(guān)于函數(shù)/(另敘述正確的是()

A.函數(shù)/(X)的最小正周期為1

B.函數(shù)/(X)在(0,2021)內(nèi)單調(diào)遞增

C.函數(shù)/(X)相鄰兩個對稱中心的距離為2

D.函數(shù)y=/(x)+lnx的圖象在區(qū)間(2020,2021)內(nèi)的零點/滿足042一2020%。二已

答案：D

解：由題意可得：/(0)=0,/(X)關(guān)于點(1,0)成中心對稱，因為/(%+1)+/(1—無)=0,可得

+=—尤)，所以〃x+l)=〃x-l),所以“X)的最小正周期為2,可得"》)的大致

圖象如下:

y

所以，“X)的最小正周期為2，A錯誤;

/(X)在(2%,2k+2)(左eZ)內(nèi)單調(diào)遞增，但是在(0,2021)內(nèi)沒有單調(diào)性，故3錯誤；”力的對稱

中心為(0")(ZeZ),故相鄰兩個對稱中心的距離為1，故C錯誤；y=/(x)的圖象與y=-lnx的

圖象在每個(2k，2k+2)區(qū)間內(nèi)都有1個交點，且y=f(x)在(2020,2021)內(nèi)的解析式為

y=ln(x-2020),所以y=/(X)+InX的圖象在區(qū)間(2020,2021)內(nèi)的零點七滿足

y-ln(x0-2020)+In%=In(x；-2020xn)=0,

2

故XO-2O2OXO=1,所以e*2。%=e做選:D

2.(2021?吉林松原市?高三月考)在數(shù)學(xué)課堂上，為提高學(xué)生探究分析問題的能力，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)

造新數(shù)列:現(xiàn)有一個每項都為1的常數(shù)列，在此數(shù)列的第〃(〃eN*)項與第〃+1項之間插入首項為2,

公比為2,的等比數(shù)列的前〃項，從而形成新的數(shù)列｛q｝,數(shù)列｛4｝的前八項和為S“，貝!J()

A?。2021~~2.B?。20,12

63

C.S202l=3X2+59D.52021=264-3

答案：AD

解：設(shè)出021介于第〃個1與第”+1個1之間或者為這兩個1當(dāng)中的一個，

則從新數(shù)列的第1個1到第n個1一共有("+」〃項,

2

從新數(shù)列的第1個1至IJ第〃+1個1一共有("+2)(”+D項,

2

所以^----^-<2021<-----△---L解得〃=63,

22

而(63；)63=20]6,所以4021=2、故A正確，B錯誤；

23622345

S2021=1x63+62x2'+61X2+60X2+...+1X2+2'+2+2+2+2

=125+62X2'+61X22+60X23+...+1X262>

令T=62x2i+61x22+60x23+i+1x262,

則2T=62x2?+61x23+60x24+...+1x263,

2T-T=-62X21+22+23+24+...+262+1X263.T=2M-128-

所以S2021=264—3,故。正確，c錯誤，

故選：AD.

3.（2021?江蘇蘇州大學(xué)附屬中學(xué)高三模擬）已知等比數(shù)列｛%｝滿足q=1,其前〃項和

S,、=pan+i+r(neN*,p>0).

A.數(shù)列｛4｝的公比為PB.數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列

C.r--p-\D.當(dāng)取最小值時，…一

答案：BD

解：依題意，等比數(shù)列｛《,｝,4=1,其前>1項和S"=pan+i+eN*,0>0),設(shè)公比是q,

S”=P4+i+r

時,作差得，atl^pall+i-pan,即(1+p)%=〃。,用即

S.T=pan+r4P

1+p1

—=q,即p

p“一1

1即q2—q—i=o,即〃=夕=上手時，數(shù)列｛%｝的公

選項A中，若公比為P,則〃=-7=4,

q-i

比為P,否則數(shù)列｛4｝的公比不為P,故錯誤;

八1+7?.1,,/］、"T

選項B中，由〃>0知，<7=—^-=1+—>1,故a“=qWT=q"T1+-是遞增數(shù)列，故

Ip）

正確;

\-an1

選項C中，由Sa=pa,“]+r,S?=-——，p=-知,

l—q<7-1

l-q”1?/=」一=一〃，故C錯誤;

r=S〃一〃%

l-qq-\i-q

選項D中'因為r=-p,故p-*=p-/1c11

P+「22P.「1,當(dāng)且僅當(dāng)〃=丁

4P\4P4P

即p=L時等號成立，p-_L取得最小值1,此時g=l±K=3,“=g"T=3"T,故正確.故選:

24rp

BD.

4.（2021?山東省實驗中學(xué)高三模擬）設(shè)首項為1的數(shù)列｛4｝的前n項和為S,，已知Sn+l=2S?+n-\,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列B.數(shù)列｛S,,+〃｝為等比數(shù)列

C.數(shù)列｛4｝中4o=5UD.數(shù)列｛2S“｝的前〃項和為2-2一〃2一〃一4

答案：BCD

5,,1+〃+12S+2tlc

解：因為“2S.+1,所以不一"=2

又5+1=2,所以數(shù)列｛S“+〃｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，故B正確;

所以5,+〃=2",則S“=2"-〃.

當(dāng)“22時，a,=S"—S“T=2"T-l,但故A錯誤;

由當(dāng)“22時，4=21-1可得《0=29—1=511,故c正確；

因為2s“=2"|-2〃,所以24+2s2+...+2S,=22-2xl+23-2x2+...+2"M-2”

n(n-1)=2"+2—〃2—〃—4所以數(shù)列

=22+23+...+2,,+I-2(1+2+...+/?)

2

{2S“}的前〃項和為2"+2一〃2一〃一4，故。正確.故選：BCD.

5.（2021?浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三模擬）己知函數(shù)/（x）=（左+彳］111》+三土,丘［1,+8）,曲線y=/（x）

上總存在兩點"（玉,y）,N（x2,y2）,使曲線y=/（x）在M,N兩點處的切線互相平行，則玉+々

的取值范圍為

答案：卜痣,+8）

解:

4+2

由題設(shè)知：八尤）=一：+」_］,且x〉0,

XX

?.?曲線y=/（x）上兩點的切線平行，

,2,2216

11kH—八k-\—%+%>—2

I1_左且為NX,>0,即，,葭+工（%+*2）2，有

?。?--------k+—，

12

x2444k

，要曲線y"（x）上總存在M,N兩點，使它們所在的切線互相平行，則*+*＞（*）皿即可.

164邛==4&廠

而13c當(dāng)且僅當(dāng)左=正＞1時等號成立,

2Jk——

kVk

??Xy+X2＞4V2.

故答案為：（4＞/2,+oo）.

6.（2020?安徽六安市?六安一中高三月考）直線y="與函數(shù)y=|lnx|交于A,B兩點，函數(shù)y=|lnx|

在A,8兩點處切線分別交＞軸于C,D兩點,C,。的中點為兩切線交于N點，則

\MN\=.

答案：1

解：?.?y=|lnx|,yNO,

aNO,

玉>1,0<x2<1,

Inx,x>1

y=|lnx|=<

-Inx,0<x<l>

—,x>1

所以，

--,0<x<l

在點(X|，X)處的切線方程為：y=\x+a-\,①

在(%2,%)處的切線方程為：y~——x+a+\,②

將x=0代入①、②，可得先=。-1，%=。+1，

/.M(0,+’，即M(0,?),

1,1,

由—x+a—1—-----x+a+1,

e"I

(\\\22

〔/+方卜=2,解得*=777^y=K+"T'

7.(2021?廈門市湖濱中學(xué)高三期中)新藥在進入臨床實驗之前，需要先通過動物進行有效性和安全

性的實驗.現(xiàn)對某種新藥進行5000次動物實驗，一次實驗方案如下：選取3只白鼠對藥效進行檢驗,

當(dāng)3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明顯”，即確定“實驗成功”；若有且只有1只“效果明顯”，

則再取2只白鼠進行二次檢驗，當(dāng)2只白鼠均使用“效果明顯”，即確定“實驗成功”，其余情況則確定

“實驗失敗設(shè)對每只白鼠的實驗相互獨立，且使用“效果明顯”的概率均為P(O<P<D.

(I)若，=；,設(shè)該新藥在一次實驗方案中“實驗成功”的概率為%,求P。的值；

(II)若動物實驗預(yù)算經(jīng)費700萬元，對每只白鼠進行實驗需要300元，其他費用總計為100萬元,

問該動物實驗總費用是否會超出預(yù)算，并說明理由.

解：(I)當(dāng)p=g時，一次檢驗就取得“實驗成功”的概率為

經(jīng)過兩次檢驗才取得“實驗成功''的概率為［c；p(l-p)［p2=(3XgXX；=［；

1319

在一次實驗方案中“實驗成功''的概率為p0=-+^=—.

(II)設(shè)一次實驗方案需要用到的經(jīng)費為X元，則X的可能值為900,1500.

P(X=900)=1-C；p(l-p)2；P(X=1500)=C；p(l-p)2.

所以￡(X)=900x[1—G〃(l_〃y]+1500C>(l-p)2=900+1800P(1-p)2,

設(shè)/(p)=p(l—p)2,則f'(p)=(l-p)2+2p(p-l)=(3p-l)(p-l),

當(dāng)時，f,（p）＞0,所以/（p）在（0,；）上單增;

當(dāng)時，r（p）＜o(jì),所以y（p）在G，"上單減.

因此實施一次此方案最高費用為900+1800x色=-元

273

所以動物實驗階段估計最高試驗費用為100+^^5000*10'4=100+二^=，^萬元,

333

因為理

<700,

3

所以該階段經(jīng)費使用不會超出預(yù)算.

8.（2021?遼寧沈陽市?沈陽二中高三模擬）某校高三男生體育課上做投籃球游戲，兩人一組，每輪游

戲中，每小組兩人每人投籃兩次，投籃投進的次數(shù)之和不少于3次稱為“優(yōu)秀小組”.小明與小亮同一

小組，小明、小亮投籃投進的概率分別為Pl，

21

（1）若Pi=§,p2=~,則在第一輪游戲他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；

4

（2）若P|+〃2=§則游戲中小明小亮小組要想獲得“優(yōu)秀小組”次數(shù)為16次，則理論上至少要進行

多少輪游戲才行？并求此時Pl，P2的值.

解：（1）由題可知，所以可能的情況有①小明投中1次，小亮投中2次；②小明投中2次，小亮投

中1次；③小明投中2次，小亮投中2次.

故所求概率尸=應(yīng)”嗎?｛）+（若.■!）［嗎.？+（或|.|）［嗎

（2）他們在一輪游戲中獲“優(yōu)秀小組”的概率為

P=C；Pl（l—pJC；（P2『+C；（pJ2Gp2（1—P2）+C；（0『C；（P2）2=2P|P2（P|+P2）—3（pj2（P2『

4g79

因為Pl+”2=]，所以尸=]PIP2_3（PJ（P2）-

4所以;4Pi41，

因為0<p<l,p+p=-9P24i,又〃也［互詈

2]2°I，，，

i4148

所以§<PiP2?§,令￡=P［P2,以則P=/zQ)=—3廠+

416

當(dāng)時，Pn^=—>他們小組在〃輪游戲中獲“優(yōu)秀小組”次數(shù)4滿足J~8(〃,。)

44

由(吶)max=16,則/=27,所以理論上至少要進行27輪游戲.此時P1+P2=§，PIP2=3,

2

Pl=〃2=§

9.(2021?正陽縣高級中學(xué)高三模擬)已知函數(shù)/(尤)=：x2—(a+l)lnx,

(1)討論/(x)在［2,5］上的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+公有兩個零點，求”的取值范圍.

解:(1);/(x)=耳工2—(Q+1)］nx,

XX

①若a+lW0,即aW-1,/'(x)>0,

故函數(shù)外可在［2,5］上單調(diào)遞增；

②若a+l>0,即a>—1,令.f'(x)=O,x=Ja+1,

當(dāng)一l<a<3時，尸(%)20在［25］上恒成立,

故函數(shù)“X)在［2,5］上單調(diào)遞增；

當(dāng)3<a<24時，當(dāng)時，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(ja+l,5］時,/'(x)>0,/(X)單調(diào)遞增；

當(dāng)心24時，/'(640在［2,5］上恒成立，

故函數(shù)“X)在［2,5］上單調(diào)遞減；

綜上，當(dāng)a<3時，函數(shù)/(x)在［2,5］上單調(diào)遞增：

當(dāng)3<a<24時，函數(shù)“X)在［2,、/石。上單調(diào)遞減，

在(J^TT,5］上單調(diào)遞增；當(dāng)心240寸，函數(shù)“X)在［2,5］上單調(diào)遞減.

(2)由題意，=—x2+or-(?+l)lnx,

故g<x)=x+a-----=--------------(x>0),

XX

①若a+l>0,即。>一1時,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

在(1,y)上單調(diào)遞增，因為x.0時，g(x)—”,

且g⑵=2+2。-(a+l)ln2N2+2a-2(a+1)=0,

故要使g(x)有兩個零點，只需g(l)=；+a<0,解得—l<a<—；；

②若々+1=0,即a=1時,

g(X)=；V—x在(0,+s)只有1個零點，不合題意；

③若a+lvO,即"-1,

(i)當(dāng)a=—2時，g(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，故不可能有兩個零點;

(ii)當(dāng)—2<a<—1時，g(尤)在((),—a—1)上單調(diào)遞增,

在(—a—1,1)上單調(diào)遞減，在&+?>)上單調(diào)遞增，

且Xf0時，g(x)->F,又g(l)=a+—<0,

g+ae2-(?+l)lne2>—+oe2>0，

2

故要使g(x)有兩個零點，則有g(shù)(-a—1)=0,

1、

即8(-Q-1)=5(Q+1)-Q(a+l)-(Q+l)ln(-a—1)

=(Q+1)1z'-lnQa-l)=0,

即~~一山(一a-1)=0,

1-a

令〃(2。)=-ln(_Q-1),ciG2,—1),

2

則/(。)=一；1a+3

=——7----r>0